圆心之间的距离与圆的两条直接公切线的交点的比值

简介

本文主要介绍圆的两条直接公切线的交点以及这个交点与圆心之间的距离的比值的计算方法。这个比值在计算机图形学中被广泛应用，特别是在计算机辅助设计（CAD）中。

原理

先来看一下两条切线的交点位置。如下图，圆$O$的圆心为$(x_0,y_0)$，两条直接公切线分别与圆相切于点$P_1$和$P_2$，圆心$O$与交点$Q$的距离为$h$，两条直接公切线的交点$Q$的坐标为$(x,y)$。我们需要求出$h$与$l$的比值。

根据几何图形知识可得：

1. $\angle OP_1Q = \angle OP_2Q = 90^\circ$；
2. $P_1Q = P_2Q$；
3. $\dfrac{l}{2} = \dfrac{r^2}{h}$。

因此，我们可以先求出切线方程：$y = kx + b$。

其中，$k = -\dfrac{x_0}{y_0}$，$b = y_0 + \dfrac{r^2}{y_0}$。

切点坐标：$P = \left(\dfrac{bx_0 - r y_0}{b^2 + k^2}, \dfrac{b^2 y_0 - r x_0}{b^2 + k^2}\right)$。

交点坐标：$Q = P \pm \dfrac{l}{2\sqrt{k^2 + 1}} \cdot \left(\begin{array}{c} -k \ 1 \end{array}\right)$。

圆心与交点的距离：$h = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$。

比值：$ratio = \dfrac{h}{l}$。

代码实现

下面是一份 Python 代码实现，使用 SymPy 模块进行数学运算：

from sympy import *
x0, y0, r = symbols('x0 y0 r')
k = -x0 / y0
b = y0 + r**2 / y0
x = (b * x0 - r * y0) / (b**2 + k**2)
y = (b**2 * y0 - r * x0) / (b**2 + k**2)
# 两个交点
Q1 = (x, y) + r / sqrt(k**2 + 1) * Matrix([-k, 1]) / sqrt(b**2 + k**2)
Q2 = (x, y) - r / sqrt(k**2 + 1) * Matrix([-k, 1]) / sqrt(b**2 + k**2)
# 圆心与交点的距离
h = sqrt((x - x0)**2 + (y - y0)**2)
# 圆的两条直接公切线的交点坐标比值
ratio = h / (r**2 / h)

总结

本文介绍了计算圆心与两条直接公切线交点间距离与圆的两条直接公切线的交点的比值的原理和代码实现。这个比值在计算机图形学中有广泛的应用，可以用于计算在给定圆的半径和圆心坐标的情况下，圆与切线的交点位置和相关的计算。