离散数学-关系

离散数学中，关系是一种非常重要的概念。程序员在编写各种程序时，也经常会使用到关系。本文将介绍离散数学中关系的基本概念、性质以及在程序设计中的应用。

一、基本概念

1. 什么是关系？

在数学中，关系是指两个集合之间的对应关系。具体来说，如果一个关系R从A到B，那么它将集合A中的每个元素和集合B中的某个元素对应起来。我们通常用箭头 -> 或者竖线 | 来表示这个对应关系，例如 a -> b 或者 a|b。

2. 关系的表示方法

关系可以通过三种方法进行表示：

2.1 关系图

关系图是用图形的方式表示关系的方法。在关系图中，首先要确定关系的源集合和目标集合，然后用箭头表示源集合中的元素和目标集合中元素之间的对应关系。例如，下图中的关系表示了一个人和他的爱好之间的关系。

2.2 关系矩阵

关系矩阵是用矩阵的方式表示关系的方法。在关系矩阵中，行表示源集合中的元素，列表示目标集合中的元素，矩阵中的每个位置表示行对应元素和列对应元素之间的关系。例如，下面是三个人与三种水果之间关系的一个关系矩阵。

    苹果  香蕉  西瓜
小明  1    1    0
小李  1    0    1
小红  0    1    1

在这个矩阵中，第一行的 1 1 0 表示小明这个人与苹果和香蕉之间有关系，但是没有和西瓜有关系。

2.3 关系公式

关系公式是用公式的方式表示关系的方法。例如，下面的公式表示两个实数之间的关系：

R={(x,y)|y=x+1}

这个公式表示集合 { (1,2), (2,3), (3,4), ... }，因为每个元素 (x,y) 满足 y=x+1。

二、关系的性质

1. 自反性

如果关系R的每个元素都满足 aRa，那么我们称 R 是自反的。例如，"等于"关系是自反的，因为任何一个数都等于它自己。

2. 对称性

如果关系R中每个满足 aRb 的元素也满足 bRa，那么我们称 R 是对称的。例如，"夫妻"关系是对称的，如果 a是b的丈夫，那么 b就是a的妻子。

3. 传递性

如果关系R中每个满足 aRb 和 bRc 的元素也满足 aRc，那么我们称 R 是传递的。例如，"父亲"关系是传递的，如果a是b的父亲，b是c的父亲，那么a就是c的爷爷。

4. 反自反性、反对称性、反传递性

如果关系R中每个不满足 aRa 的元素都满足 bRa，那么我们称 R 是反自反的。如果关系R中存在 aRb 并且不存在 bRa，那么我们称 R 是反对称的。如果关系R中存在 aRb 和 bRc，但不存在 aRc，那么我们称 R 是反传递的。

三、在程序设计中的应用

1. 数据库设计中的关系

在关系型数据库中，数据被分成不同的表存储。每个表都有一个主键来唯一标识其中的每个行。表与表之间通过外键关系连接起来。这种关系很像离散数学中的关系，因此我们可以使用离散数学的工具来对数据库进行建模和设计。

2. 图形算法中的关系

在图形算法中，我们通常需要对图中的节点之间的关系进行描述。例如，在最短路径算法中，我们需要记录每个节点之间的距离，因此我们可以使用关系矩阵来表示节点之间的关系。

3. 集合的运算

集合的运算，如交集、并集、差集等，都是基于一个集合和它的元素之间的关系进行定义的。因此，在程序中处理集合的运算时，我们也需要使用关系。例如，要计算两个集合的交集，我们可以先把这两个集合放在一个关系矩阵中，然后再对这个矩阵进行处理得到交集。

四、总结

本文介绍了离散数学中关系的基本概念、性质以及在程序设计中的应用。程序员在编写程序时，需要经常使用到关系，因此掌握关系的基本知识对于程序员来说是非常重要的。