先决条件 – 解决递归，不同类型的递归关系及其解决方案，递归关系练习集
通过指示将其通项 a n与n-1 、 a n-2等连接起来的关系来定义的序列称为该序列的递推关系。
递推关系的类型
- 一阶递归关系：-形式的递归关系： a n = can n-1 + f(n) for n>=1
其中 c 是常数，f(n) 是已知函数，称为具有常数系数的一阶线性递推关系。如果 f(n) = 0，则关系是齐次的，否则是非齐次的。示例：- x n = 2x n-1 – 1，a n = na n-1 + 1，等等。
问题：-求解递推关系 T(2 k ) = 3T(2 k-1 ) + 1, T(1) = 1。
设 T(2 k ) = a k 。因此，a k = 3a k-1 + 1
乘以 x k然后求和，
Σa k x k = 3Σa k-1 x k + Σx k ——> (1)
Σa k-1 x k = [a 0 x + a 1 x 2 + ……]
= x[a 0 + a 1 x + ……] = x[G(x)]
(1) 变成
G(x) – 3xG(x) – x/(1-x) = 0
G(x)(1-3x) – x/(1-x) = 0
G(x) = x/[(1-x)(1-3x)] = A/(1-x) + B/(1-3x)
–> A = -1/2 和 B = 3/2
G(x) = (3/2)Σ(3x) k – (1/2)Σ(x) k
x k 的系数是，a k = (3/2)3 k – (1/2)1 k
所以，a k = [3 k+1 – 1]/2。 - 二阶线性齐次递归关系：-形式的递归关系
c n a n + c n-1 a n-1 + c n-2 a n-2 = 0 ——> (1)
对于 n>=2 其中 c n 、 c n-1和 c n-2是实常数， c n != 0 被称为具有常系数的二阶线性齐次递推关系。
解决方案的形式为 a n = ck n其中 c, k!=0
把这个放在(1)
c n ck n + c n-1 ck n-1 + c n-2 ck n-2 = 0
c n k 2 + c n-1 k + c n-2 = 0 —–> (2)
因此，如果 k 满足二次方程 (2)，则 a n = ck n是 (1) 的解。该方程称为关系式(1)的特征方程。
现在出现三种情况，
Case 1 :如果方程的两个根 k 1 , k 2是实数且不同的，那么我们取
a n = A(k 1 ) n + B(k 2 ) n作为 (1) 的一般解，其中 A 和 B 是任意实常数。情况 2 ：如果方程的两个根 k 1 , k 2是实数且相等，则以 k 为公值，我们取
a n = (A + Bn)k n作为 (1) 的一般解，其中 A 和 B 是任意实常数。情况 3：如果方程的两个根 k 1和 k 2是复数，则 k 1和 k 2是彼此的复共轭，即 k 1 = p + iq 和 k 2 = p – iq，我们取
a n = r n (Acosnθ + Bsinnθ)作为 (1) 的一般解，其中 A 和 B 是任意复常数，r = |k 1 | = |k 2 | = √ p 2 + q 2和 θ = tan -1 (q/p)。
问题：-解决递归关系 a n + a n-1 – 6a n-2 = 0 for n>=2 给定 a 0 = -1 和 a 1 = 8。
这里 a n 、a n-1和 a n-2 的系数分别为 c n = 1、cn -1 = 1 和 c n-2 = -6。因此，特征方程为
k 2 + k – 6 或 (k + 3)(k – 2) = 0 ——> (1)
(1) 的根是 k 1 = -3 和 k 2 = 2，它们是实数和不同的。因此，一般的解决方案是
a n = A(-3) n + B(2) n
其中 A 和 B 是任意常数。从上面我们得到，a 0 = A + B 和 a 1 = -3A + 2B
A + B = -1
-3A + 2B = 8
解决这些我们得到 A = -2 和 B = 1
因此，a n = -2(-3) n + (2) n