概述 ：
整数 p>1 称为素数，如果 p 的唯一正除数是 1 和 p，则称为素数。不是素数的整数 q>1 称为合数。
例子 –
整数2、3、5、7和11是素数，整数4、6、8和9是合数。
定理 1：
整数 p>1 是素数当且仅当对于所有整数 a 和 b，p 除 ab 意味着 p 除 a 或 p 除 b。
例子 –
考虑整数 12。现在 12 除以 120 = 30 x 4 但 12|30 和 12|4。因此，12 不是质数。
定理2：
每个整数 n>=2 都有一个质因数。
定理3：
如果 n 是合整数，则 n 有一个不超过 √n 的素因数。
示例-1：
确定以下哪些整数是素数?
a) 293 b) 9823解决方案 –
- 我们首先找到所有质数 p 使得 p 2 < = 293。这些质数是 2,3,5,7,11,13 和 17。现在，这些质数都不能整除 293。因此，293 是质数。
- 我们考虑素数 p 使得 p2< = 9823。这些素数是 2,3,5,7,11,13,17 等。2,3,5,7 都不能整除 9823。然而，11 整除 9823。因此, 9823 不是质数。
示例 2 ：
令n 是一个正整数，使得n 2 -1 是素数。那么 n =?
解决方案 –
我们可以写出，n 2 -1 = (n-1)(n 2 +n+1)。因为n 3 -1 是素数，要么n-1 = 1，要么n 2 +n+1 = 1。现在n>=1，所以n 2 +n+1 > 1，即n 2 +n+1 != 1.因此，我们必须有 n-1 = 1。这意味着 n = 2。
示例 3 ：
令 p 为质数，使得 gcd(a, p 3 )=p 和 gcd(b,p 4 )=p。找到 gcd(ab,p 7 )。
解决方案 –
根据给定条件，gcd(a,p 3 )=p。因此，p |一种。此外，p 2 |a.(如果p 2 | a，则gcd (a,p 3 )>=p 2 >p，这是一个矛盾。)现在a 可以写成素数的乘积。因为 p|a 和 p 2 | a，因此 p 出现在 a 的素数分解中的一个因子，但是 p k ，其中 k>=2，没有出现在那个素数分解中。类似地，gcd(b,p 4 )=p 意味着 p|b 和 p 2 |b。和以前一样，p 出现在 a 的素数分解中的一个因子，但是 p k ，其中 k>=2，没有出现在那个素数分解中。现在得到 p 2 |ab 和 p 3 |ab。因此， gcd(b,p 7 ) = p 2 。
素性测试算法：
for i: [2,N-1]
if i divides N
return "Composite"
return "Prime" 例子 –
举个例子，让算法更高效，36=
| 1×36 |
| 2×18 |
| 3×12 |
| (a=4)x(b=9) |
| 6×6 |
| 9×4 (repeated) |
| 12×3 (repeated) |
| 18×2 (repeated) |
| 36×1 (repeated) |
Take the inputs of a and b until,
a<=b
a . b = N
a . N/a = N修改后的算法：
for i : [2,√n]
if i divides N
return "Composite"
return "Prime" C++
// C++ program to check primality of a number
#include
using namespace std;
bool is_prime(int n){
for(int i = 2; i * i <= n; i++){
if(n % i == 0){
return false;
//if the number is composite or not prime.
}
}
return true;
// number is prime.
}
int main() {
int n;
cin >> n;
cout << is_prime(n) ? "prime" : "composite";
return 0;
} Java
// Java program to check primality of a number
/*package whatever //do not write package name here */
import java.util.*;
class prime{
public Boolean is_prime(int n){
for(int i = 2; i * i <= n; i++){
if(n % i == 0){
return false;
//if the number is composite or not prime.
}
}
return true;
// number is prime.
}
}
class GFG {
public static void main (String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
prime ob = new prime();
System.out.println(ob.is_prime(n) ? "Prime" : "Composite");
}
}求素数的算法：
在数学中，Eratosthenes 筛法是一种古老的算法，用于查找任何给定限制内的所有素数。
Algorithm Sieve of Eratosthenes is input: an integer n > 1.
output : all prime numbers from 2 through n.
let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding √n do
if A[i] is true
for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., not exceeding n do
A[j] := false
return all i such that A[i] is true.