给定数组中所有和为完美数的所有子集的总和

问题描述

给定一个整数数组 nums，要求找出所有的子集，使得该子集中所有元素的和为完美数。完美数指的是既是素数又是梅森素数的自然数。

解决方案

我们可以利用回溯法来解决该问题。具体地，我们从空集开始，每次选择一个元素加入集合中，如果集合中所有元素的和是完美数，则记录该集合。然后回溯并选择另一个元素。接下来，我们来看一下该算法的实现细节。

首先，我们需要找出所有的完美数。可以发现，在当前最大值范围内，完美数只有5个：2, 3, 5, 13, 17。这些数可以通过手动验证得到。

其次，我们需要实现回溯算法。我们可以定义一个函数 backtrack(start, cur_sum, subset)，其中start表示从nums数组中的第start个元素开始选择元素，cur_sum表示当前集合的和，subset表示当前集合。

在函数体内，我们先判断当前集合的和是否为完美数，如果是，则将该集合添加到集合列表中。然后，我们从start开始遍历nums数组，如果当前元素已经在集合中，直接跳过。否则，将当前元素添加到集合中，递归调用 backtrack(start + 1, cur_sum + nums[i], subset)，然后回溯并删除该元素。

最后，我们调用 backtrack(0, 0, []) 来得到所有满足条件的集合。最终，将这些集合中的所有元素相加就得到了题目所需的答案。

代码实现

PRIMES = [2, 3, 5, 13, 17]

def backtrack(start, cur_sum, subset, ans, nums):
    if cur_sum in PRIMES:
        ans.append(list(subset))
    for i in range(start, len(nums)):
        if nums[i] in subset:
            continue
        subset.append(nums[i])
        backtrack(i + 1, cur_sum + nums[i], subset, ans, nums)
        subset.pop()

def sum_of_perfect_subsets(nums: List[int]) -> int:
    ans = []
    backtrack(0, 0, [], ans, nums)
    return sum(map(sum, ans))

总结

在本题中，我们通过回溯法找出了所有满足条件的子集，并计算所有子集的和。由于本题中数组中的元素数量可能很多，因此时间复杂度可能很高。但是，本题涉及的回溯与搜索算法是比较基础的算法，值得程序员们掌握。