门 | GATE CS 2021 |套装2 |问题17

这道题目是2021年GATE计算机科学套装第二套的第17题。它考察的是动态规划和二分查找。

问题描述

给定一个长度为N的整数数组A[]，找出一个子数组A[s:e]，使得这个子数组的平均值最大。返回这个子数组的起始位置s和结束位置e。

解法

暴力解法

暴力解法是枚举每一个可能的子数组然后计算它的平均值，最终找出最大的平均值对应的子数组。

时间复杂度为 O(N^2)。

代码片段：

s = 0
e = 0
max_avg = float('-inf')
for i in range(N):
    for j in range(i, N):
        avg_sum = sum(A[i:j+1])/(j-i+1)
        if avg_sum > max_avg:
            s = i
            e = j
            max_avg = avg_sum

动态规划

时间复杂度为 O(N^2) 的暴力解法是不能承受的。我们可以使用动态规划来降低时间复杂度。

假设 dp[i][j] 表示 A[i:j+1] 的平均值，那么可以根据 dp[i+1][j+1] = (dp[i][j]*(j-i) + A[j+1])/(j-i+1) 推导出状态转移方程。

时间复杂度为 O(N^2)。

代码片段：

dp = [[0 for _ in range(N)] for _ in range(N)]
for i in range(N):
    dp[i][i] = A[i]
    for j in range(i+1, N):
        dp[i][j] = (dp[i][j-1]*(j-i) + A[j])/(j-i+1)

s = 0
e = 0
max_avg = float('-inf')
for i in range(N):
    for j in range(i, N):
        if dp[i][j] > max_avg:
            s = i
            e = j
            max_avg = dp[i][j]

二分查找

通过上面的动态规划解法，我们已经将时间复杂度降低到了 O(N^2)。但还有更优秀的解法。

假设我们已经有了一个区间 [s,e]，对应的平均值为 m。可以发现如果子数组 [s', e'] 的平均值大于 m，那么一定存在一个子数组 [s'', e'']，它的平均值大于 m。

这启示我们可以对平均值进行二分查找。对于每一个二分值，可以使用双指针法在 O(n) 时间内计算出相应的平均值。最终答案就是所有满足条件的平均值中最大的那个。

时间复杂度为 O(NlogA)（其中 A = max(A) - min(A)）

代码片段：

s = 0
e = 1
for i in range(N):
    s = max(s, A[i])
    e = max(e, A[i])

eps = 1e-6
while e - s > eps:
    mid = (s+e)/2
    min_sum = 0
    cur_sum = 0
    max_avg = float('-inf')
    for i in range(N):
        cur_sum += A[i] - mid
        if i >= K-1:
            if cur_sum - min_sum > eps:
                max_avg = max(max_avg, cur_sum - min_sum)
            min_sum += A[i-K+1] - mid
    if max_avg > eps:
        s = mid
    else:
        e = mid
s_idx = 0
s_sum = 0
max_avg = float('-inf')
for i in range(N):
    s_sum += A[i] - s
    if i >= K-1:
        if s_sum > max_avg:
            max_avg = s_sum
            s_idx = i-K+2