门 | GATE-CS-2017（套装1）|问题 17

这是一道计算机科学相关的问题，属于GATE-CS-2017（套装1）中的第17题。

问题描述

考虑一个银行系统，系统中包含有许多账户，每个账户对应着一个账户号码和一个余额。系统中有两种类型的操作：(i) 把一个账户的余额增加一定数额，(ii) 把一个账户的余额减少一定数额。系统支持以下两种类型的查询：(i) 给定一个账户号码 x，查询该账户的余额；(ii) 查询系统中余额最大的账户。

你的任务是实现该银行系统的数据结构，使得以上操作和查询的时间复杂度尽量低。

解决方案

此题需要实现一个数据结构来支持上述操作和查询，其中插入和删除操作的时间复杂度需要达到 O(log n)，而查询操作的时间复杂度需要达到 O(1)。

对于每一个账户，我们可以将其视为一颗包含两个节点的二叉树：一个代表账户id的节点，另一个代表余额的节点。对于插入操作，我们可以将一个新的账户插入到二叉树之中。对于删除操作，我们可以将对应的账户从二叉树中删除。这样一来，我们就可以支持 O(log n) 的插入和删除操作了。

在支持查询最大余额的账户上，则需要使用一个额外的递归过程来查找余额最大的节点。该过程每次需要查询当前节点的两个子节点，比较它们的余额大小，并返回节点余额最大的子节点。由于每个节点最多只需要进行一次比较和两次递归，故查询余额最大的账户的时间复杂度为 O(log n)。而查询指定账户的余额，则只需要在对应的节点上直接查询即可，时间复杂度为 O(1)。

综上所述，我们可以使用二叉树实现该银行系统的数据结构，插入和删除操作均为 O(log n)，查询余额最大的账户时间复杂度为 O(log n)，查询指定账户余额的时间复杂度为 O(1)。

代码实现

这里提供一份基于 Python 的实现代码，可以供参考：

class Account:
    def __init__(self, id, balance):
        self.id = id
        self.balance = balance
        self.left = None
        self.right = None
    
    def __eq__(self, other):
        return self.balance == other.balance
    
    def __ne__(self, other):
        return self.balance != other.balance
    
    def __lt__(self, other):
        return self.balance < other.balance
    
    def __le__(self, other):
        return self.balance <= other.balance
    
    def __gt__(self, other):
        return self.balance > other.balance
    
    def __ge__(self, other):
        return self.balance >= other.balance

class BankSystem:
    def __init__(self):
        self.root = None
    
    def insert(self, account):
        if self.root is None:
            self.root = account
            return
        node = self.root
        while node is not None:
            if account.id < node.id:
                if node.left is None:
                    node.left = account
                    return
                node = node.left
            elif account.id > node.id:
                if node.right is None:
                    node.right = account
                    return
                node = node.right
            else:
                node.balance += account.balance
                return
    
    def delete(self, id):
        def _delete(curr_node, id):
            if curr_node is None:
                return None
            elif id < curr_node.id:
                curr_node.left = _delete(curr_node.left, id)
            elif id > curr_node.id:
                curr_node.right = _delete(curr_node.right, id)
            else:
                if curr_node.left is None:
                    return curr_node.right
                elif curr_node.right is None:
                    return curr_node.left
                else:
                    tmp_node = self._find_max(curr_node.left)
                    curr_node.id = tmp_node.id
                    curr_node.balance = tmp_node.balance
                    curr_node.left = _delete(curr_node.left, tmp_node.id)
            return curr_node
        
        self.root = _delete(self.root, id)
    
    def get_balance(self, id):
        node = self._find_node(id)
        return node.balance if node is not None else None
    
    def get_max_balance(self):
        node = self._find_max(self.root)
        return (node.id, node.balance) if node is not None else None
    
    def _find_node(self, id):
        node = self.root
        while node is not None:
            if id == node.id:
                break
            elif id < node.id:
                node = node.left
            else:
                node = node.right
        return node
    
    def _find_max(self, node):
        if node is None or node.right is None:
            return node
        return self._find_max(node.right)

代码中我们定义了两个类：Account 和 BankSystem。Account 表示每一个账户，其中包含了账户id和余额；BankSystem 则是我们要实现的银行系统的数据结构，其中包含了二叉树的根节点。

对于插入操作，我们首先将新的账户作为一个新的叶子节点插入到二叉树上；对于删除操作，则需要通过递归遍历二叉树来找到需要删除的节点，并删除该节点。注意，当需要删除一个内部节点时，则需要寻找该节点左子树的最大节点，并将其作为该节点的替换。

对于查询余额，我们可以通过在对应节点上直接查询来实现。而查询最大余额，则需要使用一个递归过程，在二叉树中遍历寻找余额最大的节点。

最终，我们就可以通过该数据结构来实现对银行系统的支持，时间复杂度均为O(log n)。