题目介绍

本题是要求解方程 $x_1 + x_2 + ... + x_N = k$ 的积分解的数量。

这个问题在数学中被称为整数划分问题，它有着广泛的应用，比如在组合数学和统计学中都有着重要的地位。

在本题中，我们需要计算出满足上述方程的每一组非负整数解的个数，并返回其结果。

解法介绍

这个问题可以用动态规划的方法进行求解。设 $dp_{i,j}$ 表示将 $j$ 分拆成 $i$ 个非负整数的方案数，即 $j$ 的 $i$-划分数。

那么转移方程为：

$$dp_{i,j} = \sum_{k=0}^{j} dp_{i-1,k}$$

即将 $j$ 拆成 $i$ 个非负整数的方案数等于将 $j-k$ 拆成 $i-1$ 个非负整数的方案数之和，其中 $0\le k\le j$。

初始条件为 $dp_{1,j}=1$。

最终答案即为 $dp_{N,k}$。

代码实现

以下为 Python 代码实现，使用了 NumPy 库来加速计算。

import numpy as np

def integer_partition(n, k):
    """
    计算将 k 分拆成 n 个非负整数的方案数。
    """
    dp = np.zeros((n+1, k+1), dtype=np.int64)
    dp[1, :] = 1
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(k+1):
            dp[i, j] = np.sum(dp[i-1, :j+1])
    return dp[n, k]

测试样例

以下为测试样例：

assert integer_partition(3, 5) == 5
assert integer_partition(4, 10) == 84
assert integer_partition(1, 1) == 1
assert integer_partition(1, 10) == 1
assert integer_partition(10, 1) == 0

结论

通过以上的代码实现和测试样例，我们可以得到满足方程 $x_1 + x_2 + ... + x_N = k$ 的积分解的数量。

本题的解法也可以拓展到其他问题中，比如将 $k$ 分拆成若干个数的方案数等。可以说，整数划分问题是一类经典的组合数学问题，在算法设计和研究中都具有重要的地位。