计算和方程的非负积分解的数量

简介

给定一个正整数 n 和一个正整数序列 a1, a2, ..., ak，满足：

• 对于任意 i，都有 1 <= ai <= n。
• 对于任意 i != j，都有 ai != aj。

我们定义一个序列 b1, b2, ..., bk 为 n 的一个非负积分解，当且仅当：

• 对于任意 i，都有 0 <= bi <= n - ai。
• 序列的和等于 n，即 b1 + b2 + ... + bk = n。
• 序列中不能存在两个相同的数。

本文介绍如何使用动态规划来计算和方程的非负积分解的数量。

算法

设 dp[i][j] 表示使用前 i 个数，和为 j 的非负积分解的数量。

则有以下状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-i]

其中，第一项表示不选择第 i 个数，第二项表示选择第 i 个数，且将其加入到和为 j-i 的序列中。

最终答案为 dp[k][n]。

代码

def non_negative_integer_partitions(n: int, a: List[int]):
    k = len(a)
    A = [True] * (n + 1)
    for ai in a:
        A[ai] = False
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(k + 1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, k + 1):
        for j in range(n + 1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j >= a[i-1] and A[j-a[i-1]]:
                dp[i][j] += dp[i][j-a[i-1]]
    return dp[k][n]

注：参数 A 表示是否为原序列中的值，A[i] = True 表示 i 不在序列中。