门| GATE CS 2020 |第 35 题

这是2020年GATE计算机科学考试的第35题。该题目涉及到数字逻辑和计算机组成原理的知识。

题目描述

这个题目要求你将一个有限状态自动机转换成等效的真值表达式。具体描述如下：

有限状态自动机有以下属性：

1. 输入终止符（$E$）或输入字符（$X$）
2. 自动机的初始状态S0
3. 标记状态Sf
4. 状态转移函数$\delta$

自动机对于输入$w\in(E\cup X)^*$，如果存在$w'$使得$\delta(S_0,w')=S_f$，则自动机接受$w$。

现在，让我们考虑以下有限状态自动机：

 ______
|      |
| S_0  |
|______|         ______        ______
     |           |      |      |      |
     +----X---->|  S_1 +---->|  S_2 |
     |           |______|      |______|
     |                       +----X---->F
     +-----------------------+

图中的每个方框代表一个状态。图中的箭头代表基于输入字符（$X$）的状态转移函数$\delta$。带有一个加号（+）的箭头代表基于输入符号（$E$）的状态转移函数$\delta$。状态$f$被标记为接受状态。设计一个布尔表达式来描述此自动机接受的字符串（使用$X$作为输入终止符）。

解题思路

首先，我们需要将该自动机用状态转移表的形式表示出来。具体表格如下：

| 状态 | $X$ | $E$ | | ---- | --- | --- | | $S_0$ | $S_1$ | / | | $S_1$ | $S_2$ | / | | $S_2$ | / | $F$ | | $F$ | / | / |

其中，$/$代表该输入字符没有对应的转移。

接下来，我们需要用$K$地图的方法将真值表达式转换成最小项。由于有4个变量（$S_0, S_1, S_2, F$），因此有16个最小项。我们可以使用真值表达式的公式：

$F=\bigvee_{i=0}^{15}m_i$

其中，$m_i$是第$i$个最小项。

最后，我们需要构建真值表达式。我们可以根据状态转移表来构建最小项。例如，当$S_0$和$S_1$状态转移到$S_2$时，我们有以下最小项：

$\bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot S_2$

$X$指示符用于标记输入终止。因此，我们需要添加另一个与$X$相关的最小项。

$\bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot \bar{S_2}\cdot \bar{F}$

最后，我们可以将所有最小项组合在一起，得出以下真值表达式：

$\bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot S_2+\bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot \bar{S_2}\cdot \bar{F}+X\cdot \bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot \bar{S_2}\cdot \bar{F}$

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# 门| GATE CS 2020 |第 35 题

这是2020年GATE计算机科学考试的第35题。该题目涉及到数字逻辑和计算机组成原理的知识。

## 题目描述

这个题目要求你将一个有限状态自动机转换成等效的真值表达式。具体描述如下：

有限状态自动机有以下属性：

1. 输入终止符（$E$）或输入字符（$X$）
2. 自动机的初始状态S0
3. 标记状态Sf
4. 状态转移函数$\delta$

自动机对于输入$w\in(E\cup X)^*$，如果存在$w'$使得$\delta(S_0,w')=S_f$，则自动机接受$w$。

现在，让我们考虑以下有限状态自动机：

| | | S_0 | || ______ ______ | | | | | +----X---->| S_1 +---->| S_2 | | || |______| | +----X---->F +-----------------------+

图中的每个方框代表一个状态。图中的箭头代表基于输入字符（$X$）的状态转移函数$\delta$。带有一个加号（+）的箭头代表基于输入符号（$E$）的状态转移函数$\delta$。状态$f$被标记为接受状态。设计一个布尔表达式来描述此自动机接受的字符串（使用$X$作为输入终止符）。

## 解题思路

首先，我们需要将该自动机用状态转移表的形式表示出来。具体表格如下：

| 状态 | $X$  | $E$ |
| ---- | --- | --- |
| $S_0$   | $S_1$ | /   |
| $S_1$   | $S_2$ | /   |
| $S_2$   | /   |  $F$ |
| $F$    | /   | /   |

其中，$/$代表该输入字符没有对应的转移。

接下来，我们需要用$K$地图的方法将真值表达式转换成最小项。由于有4个变量（$S_0, S_1, S_2, F$），因此有16个最小项。我们可以使用真值表达式的公式：

$F=\bigvee_{i=0}^{15}m_i$

其中，$m_i$是第$i$个最小项。

最后，我们需要构建真值表达式。我们可以根据状态转移表来构建最小项。例如，当$S_0$和$S_1$状态转移到$S_2$时，我们有以下最小项：

$\bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot S_2$

$X$指示符用于标记输入终止。因此，我们需要添加另一个与$X$相关的最小项。

$\bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot \bar{S_2}\cdot \bar{F}$

最后，我们可以将所有最小项组合在一起，得出以下真值表达式：

$\bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot S_2+\bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot \bar{S_2}\cdot \bar{F}+X\cdot \bar{S_0}\cdot \bar{S_1}\cdot \bar{S_2}\cdot \bar{F}$