谜题 68 | 走下山坡

这是一道有趣的谜题，需要进行一些递推和递归操作，以求出最大的平均值，具体的操作方式很像动态规划。

题目描述

小明在爬山，他想知道从山顶到山脚最大的平均值是多少。山的高度是一个二维数组，小明每次可以向下或向右走一格。例如，如果小明在第 i 行 j 列，那么他可以选择向下走到第 i+1 行 j 列或者向右走到第 i 行 j+1 列。

解题思路

要求从山顶到山脚的最大平均值，我们可以采用动态规划的思想。从山顶开始，每一次移动都记录当前的平均值，最后找到最大的平均值。

具体步骤如下：

1. 定义一个二维数组$S$，用来存储从山顶到当前格子的路径最大和
2. 从山顶开始，$S[0][0]=H[0][0]$（$H$是一个表示山坡高度的二维数组），并按照从上到下、从左到右的顺序遍历所有格子
3. 对于每个格子$(i,j)$，其可以从上面$(i-1,j)$或者左面$(i,j-1)$转移过来，即$S[i][j]=max(S[i-1][j],S[i][j-1])+H[i][j]$
4. 最后得到的$S[n-1][m-1]$即为从山顶到山脚的最大路径和，平均值为$\frac{S[n-1][m-1]}{n+m-1}$。

下面是Python实现的代码：

def max_average(H):
    n, m = len(H), len(H[0])
    S = [[0] * m for _ in range(n)]
    S[0][0] = H[0][0]
    for i in range(1, n):
        S[i][0] = S[i-1][0] + H[i][0]
    for j in range(1, m):
        S[0][j] = S[0][j-1] + H[0][j]
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            S[i][j] = max(S[i-1][j], S[i][j-1]) + H[i][j]
    return S[n-1][m-1] / (n + m - 1)

总结

本题涉及到了递推和递归的思想，以及动态规划的解题思路，考验了程序员的算法思维和代码实现能力。通过这道谜题，我们可以更好的掌握和应用Python及其他语言的基本运算、数据类型和语法规则，为解决实际问题打下基础。