求和等于k的最大面积矩形子矩阵

介绍

本题目要求在给定的矩阵中找出一个子矩阵，使得该子矩阵的元素之和等于给定的k，同时该子矩阵的面积最大。

这是一个典型的二维前缀和问题，可以使用前缀和数组来加速的计算。本题目时间复杂度为O(N ^ 3)（N为矩阵边长）。

解题思路

1. 使用二维前缀和数组sum表示矩阵的前缀和，即$sum[x][y]$表示矩阵左上角为(0, 0)、右下角为(x, y)的子矩阵元素之和。

   • 可以先计算出第一行和第一列的前缀和，之后计算出每个位置的前缀和。

   # 计算第一行和第一列
   for i in range(1, n):
       sum[0][i] += sum[0][i - 1]
       sum[i][0] += sum[i - 1][0]
   # 计算每个位置的前缀和
   for i in range(1, n):
       for j in range(1, n):
           sum[i][j] += sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1]
   

2. 遍历每个可能的子矩阵，计算其元素之和。若等于k，更新当前最大面积；若小于k，无需继续计算。

   for x1 in range(n):
       for y1 in range(n):
           for x2 in range(x1, n):
               for y2 in range(y1, n):
                   cur_sum = sum[x2][y2]
                   if x1 > 0:
                       cur_sum -= sum[x1 - 1][y2]
                   if y1 > 0:
                       cur_sum -= sum[x2][y1 - 1]
                   if x1 > 0 and y1 > 0:
                       cur_sum += sum[x1 - 1][y1 - 1]
                   if cur_sum == k:
                       cur_area = (x2 - x1 + 1) * (y2 - y1 + 1)
                       max_area = max(max_area, cur_area)
                   elif cur_sum < k:
                       break
   

完整代码

def max_rect_area(matrix, k):
    n = len(matrix)
    sum = [[0] * n for _ in range(n)]
    max_area = 0

    # 计算第一行和第一列
    for i in range(n):
        sum[0][i] = matrix[0][i]
        sum[i][0] = matrix[i][0]
    for i in range(1, n):
        sum[0][i] += sum[0][i - 1]
        sum[i][0] += sum[i - 1][0]

    # 计算每个位置的前缀和
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, n):
            sum[i][j] = matrix[i][j] + sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1]

    # 遍历每个可能的子矩阵，计算其元素之和。
    for x1 in range(n):
        for y1 in range(n):
            for x2 in range(x1, n):
                for y2 in range(y1, n):
                    cur_sum = sum[x2][y2]
                    if x1 > 0:
                        cur_sum -= sum[x1 - 1][y2]
                    if y1 > 0:
                        cur_sum -= sum[x2][y1 - 1]
                    if x1 > 0 and y1 > 0:
                        cur_sum += sum[x1 - 1][y1 - 1]
                    if cur_sum == k:
                        cur_area = (x2 - x1 + 1) * (y2 - y1 + 1)
                        max_area = max(max_area, cur_area)
                    elif cur_sum < k:
                        break

    return max_area

测试样例

matrix = [
    [1, 0, 1],
    [0, 1, 0],
    [1, 0, 1]
]
k = 4
max_rect_area(matrix, k)  # 4