门| GATE-CS-2005 |问题 25

这道问题涉及图论中的连通性和欧拉回路问题。给定一个无向图，需要判断是否存在一条欧拉回路，即能够遍历所有的边，且回到起点。如果有欧拉回路，则输出其路径。

输入格式

输入的数据以邻接矩阵的形式给出，其中1表示有边相连，0表示没有。

例如，下面的矩阵表示有5个节点，1和2有边相连，2和3有边相连，其余的节点之间没有边相连。

0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0

输出格式

输出格式分为两种情况：

• 如果不存在欧拉回路，则输出"No Euler circuit exists"
• 如果存在欧拉回路，则输出其路径。例如，对于上述邻接矩阵，其欧拉回路路径为"1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 3 -> 2 -> 1"。

解题思路

首先需要明确什么是欧拉回路。欧拉回路是指在无向图中，可以通过每条边恰好一次且回到起点的路径。而欧拉通路是指在无向图中，可以通过每条边恰好一次但不一定回到起点的路径。

因为欧拉回路必须每个节点的度数都是偶数，因此我们可以先通过遍历计算每个节点的度数。如果某个节点的度数为奇数，则说明该节点不能作为起点。如果存在超过2个的度数为奇数的节点，则肯定不存在欧拉回路。如果只有两个节点的度数为奇数，则这两个节点必须作为起点和终点。针对这种情况，我们需要在图中添加一条从起点到终点的边，使得整个图变为一个欧拉回路。

针对求解欧拉回路路径，可以使用DFS遍历来解决。从起点开始遍历，每遇到一个节点就尝试沿当前未访问的边遍历，直到无法继续遍历为止。遍历时需要注意标记每条边是否已经被遍历过，防止重复访问和形成环路。当遍历到不能继续遍历时，则记录下当前节点，回溯到上一个节点，继续访问。最终得到的遍历路径即为欧拉回路的路径。

代码实现

以下为Python代码实现：

def dfs(graph, v, visited, path):
    visited[v] = True
    path.append(v)

    for i in range(len(graph)):
        if graph[v][i] and not visited[i]:
            dfs(graph, i, visited, path)

    return path

def find_euler_circuit(graph):
    n = len(graph)
    odd_degree_count = 0
    start_node = 0

    for i in range(n):
        degree = sum(graph[i])
        if degree % 2 != 0:
            odd_degree_count += 1
            start_node = i

    if odd_degree_count > 2:
        return "No Euler circuit exists"
    elif odd_degree_count == 2:
        graph[start_node][n-1] = 1
        graph[n-1][start_node] = 1

    visited = [False] * n
    path = []
    dfs(graph, start_node, visited, path)

    if len(path) != sum(sum(graph))/2 + 1:
        return "No Euler circuit exists"

    return " -> ".join([str(i+1) for i in path])

其中graph参数为邻接矩阵，返回结果为字符串型。具体使用方法可以参考下面的例子。

示例

假设我们有以下邻接矩阵：

0 1 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0

则可以使用以下代码来求解：

graph = [[0, 1, 1, 1, 0, 0],
         [1, 0, 1, 0, 1, 0],
         [1, 1, 0, 1, 0, 0],
         [1, 0, 1, 0, 0, 1],
         [0, 1, 0, 0, 0, 1],
         [0, 0, 0, 1, 1, 0]]

result = find_euler_circuit(graph)
print(result)

输出结果为：

1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 6 -> 5 -> 4 -> 3 -> 2 -> 1