门 | GATE-CS-2005 | 问题 26

这是一道 GATE-CS-2005 的问题，考察的是计算机科学的基础知识，具体题目如下：

给定一个由 $n$ 个二进制数表示的集合 $S={a_1,a_2,\cdots,a_n}$，以及一个二进制数 $b$。假设 $S$ 和 $b$ 都存储在内存中，且内存中的一个二进制数可以在常量时间内被读取。设计一种算法，求解是否存在集合 $T\subseteq S$，使得 $T$ 中所有的数的按位或（or）等于 $b$。给出时间复杂度分析。

思路

这是一道经典的 NP 完全问题，首先让我们来考虑一下暴力求解的方法。对于 $S$ 中的每个元素 $a_i$，我们可以选择将其纳入集合 $T$ 中或者不将其纳入，这样一来，集合 $S$ 会有 $2^n$ 种不同的子集，我们可以挨个枚举这些子集，然后检查子集中所有数的按位或（or）是否等于 $b$，这样一来，时间复杂度为 $O(n2^n)$，在 $n=32$ 的情况下可能已经无法承受。所以我们需要考虑更为高效的方法。

接下来我们来尝试一种动态规划的方法，定义 $f(S,i)$ 表示在前 $i$ 个元素中，是否存在某个子集的按位或（or）等于 $S$。根据定义，答案即为 $f(b,n)$，转移方程如下：

$$\begin{aligned} f(S,i)&=f(S,i-1)\ ||\ (f(S-a_i,i-1)\ &&\ (a_i\ |\ S)==S) \ &=f(S,i-1)\ ||\ ((f(S\ |\ a_i,i-1)\ &&\ (a_i\ |\ S)==S) \end{aligned}$$

其中 $||$ 表示按位或（or），$&&$ 表示按位与（and），$|$ 表示按位或（or），这个转移方程的意义是将 $a_i$ 和不包含 $a_i$ 的情况分别考虑，并判断在这些情况下是否存在子集的按位或（or）等于 $S$。

最后，我们来看一下时间复杂度。对于 $f(S,i)$，我们需要计算 $2^n$ 个不同的状态，每个状态需要 $O(n)$ 的时间计算，因此总时间复杂度为 $O(n2^n)$，与暴力方法相同。但是我们注意到，$S$ 取遍了所有可能的值，因此当 $S$ 较小的时候，我们可以将计算结果缓存下来，这样一来，时间复杂度就变成了 $O(n2^k)$，其中 $k$ 表示 $S$ 可能的取值数量。显然，$k$ 的上界为 $n$，因此计算结果的缓存不会让算法的时间复杂度变差。

代码

def exist_subset_with_or_equal_to_b(S: List[int], b: int) -> bool:
    n = len(S)
    k = min(32, n)
    f = [0] * (2 ** k)
    f[0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        b = b & ((1 << k) - 1)
        for j in range(2 ** k):
            if not f[j]:
                continue
            if j | S[i - 1] == b:
                return True
            if j & S[i - 1] == 0:
                f[j | S[i - 1]] = 1
    return False

代码的实现比较简单，注意到 $S$ 中的数字都是二进制的，因此我们在实现的时候可以限制 $S$ 中每个数字的位数不超过 $32$ 位。在转移的时候，我们只需要根据上一步的结果，将状态 $j$ 对应的子集纳入或者不纳入集合 $T$ 即可。最终，我们只需要 return 是否存在这样一个子集即可。