每个数组元素的出现索引的绝对差之和|套装2

这是一道经典的数组题目，其算法的时间复杂度为 $O(n)$。下面我们来逐步分析。

题目描述

给定一个整数数组 nums，计算每个元素 nums[i] 的出现索引与其他元素索引差的绝对值之和。

{% codeblock lang:python %} def array_index_difference(nums: List[int]) -> int: pass {% endcodeblock %}

分析

对于每个元素，我们只需要统计其往左和往右的位置差即可，可以分别对数组的前半部分和后半部分分别计算，再相加即可。

具体计算方式可以利用前缀和的思想，先计算出数组前半部分 $i$ 位置的所有元素到位置 $0$ 的距离之和 $pre_i$ 和数组后半部分 $j$ 位置的所有元素到最后一个位置 $n-1$ 的距离之和 $post_j$，然后计算第 $i$ 个位置元素的答案为 $pre_i + post_i$。

例如对于数组 [1,3,2,4]，首先计算前半部分每个元素距离 $0$ 的距离之和为 [1,4,6,10]，后半部分每个元素距离 $3$ 的距离之和为 [0,1,3,7]，那么我们可以得到每个元素的答案如下：

$$ ans = [0+7,1+3,4+1,6+0] = [7,4,5,6] $$

最后将所有元素的答案求和即可。

代码实现

{% codeblock lang:python %} from typing import List

def array_index_difference(nums: List[int]) -> int: n = len(nums) pre_sum = [0] * n post_sum = [0] * n for i in range(1, n): pre_sum[i] = pre_sum[i-1] + (i * (nums[i] - nums[i-1])) for i in range(n-2, -1, -1): post_sum[i] = post_sum[i+1] + ((n-i-1) * (nums[i+1] - nums[i])) return sum(pre_sum[i] + post_sum[i] for i in range(n)) {% endcodeblock %}

总结

本题的思路较为简单，利用前缀和解决距离问题。实现上需要注意边界情况，以及数组索引和数值之间的关系计算。这道题也可以扩展到二维数组，并利用前缀和解决距离问题，是非常典型的算法题目。