UGC-NET CS 2017 年 12 月 2 日 |问题 17

该题目是一道计算机科学方面的题目，需要考生熟练掌握程序设计和算法分析相关知识。在面试中，如果遇到类似的问题，我们需要从以下几个方面来介绍。

题目描述

已知一组元素 A，对 A 中的元素进行全排列，并记录下 rank(A[i]) 表示第 i 个元素在排列 A 中出现在第几个位置。例如 A={a, b, c}，A 可以得到全排列：

{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}

其中 rank(a) 表示全排列中 a 出现在第几个位置。

指定数组 A={A[1], A[2], ... A[n]}，其中 A[i] 表示字符 'a'~'z' 中某一个，且无重复。请编写一个程序，统计满足 rank(A) 为奇数的全排列数量。

解题思路

题目的难点在于需要统计满足 rank(A) 为奇数的全排列数量，这需要对全排列和排列的性质进行了解。我们可以使用递归的方式来对全排列进行计算，在这个过程中，我们需要记录下每一个元素的 rank 值。

对于一个全排列 A，我们可以将其分为两个部分，第一个元素和剩下的元素。我们先将第一个元素从 A 中取出来，然后将剩下的元素进行全排列，得到 B。我们可以将 B 中每个排列的 rank 值加1，如果第一个元素比剩下元素中的任何一个元素小，就加上 C(n-1, 0)，否则就加上 C(n-1, 1)。

根据奇偶性的性质，如果全排列的奇数位上只有一个偶数（任意奇数位上可以是任意奇数），那么 rank 值为奇数。因此我们可以用并查集对元素进行合并，在排列的过程中，如果有两个元素合并在了一起，那么就有一个偶数。最后统计出满足要求的全排列数量就可以了。

参考代码

以下是一个可能的解法，已经按 markdown 格式标注了代码片段：

# 并查集类
class DisjointSet:
    def __init__(self, n):
        self.rank = [-1] * n
        self.parent = list(range(n))

    # 查找元素 x 的根节点
    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    # 合并 x 和 y 所在的集合
    def union(self, x, y):
        x_root, y_root = self.find(x), self.find(y)
        if x_root == y_root:
            return
        # 根据 rank 值进行合并
        if self.rank[x_root] > self.rank[y_root]:
            self.parent[y_root] = x_root
        else:
            self.parent[x_root] = y_root
            if self.rank[x_root] == self.rank[y_root]:
                self.rank[y_root] += 1


# 计算排列数量的函数
def count_permutations(A):
    n = len(A)
    # 创建并查集
    dsu = DisjointSet(n)

    # 递归函数
    def recurse(start):
        if start == n:
            # 计算 rank 值
            rank = 0
            for i in range(n - 1):
                rank += sum(1 for j in range(i + 1, n) if A[j] < A[i])
            return rank % 2 == 1

        # 递归全排列
        result = 0
        for i in range(start, n):
            # 将元素合并到一个集合中
            root_i = dsu.find(i)
            for j in range(i + 1, n):
                root_j = dsu.find(j)
                if root_i != root_j:
                    dsu.union(root_i, root_j)
                    result += recurse(start + 1)
                    dsu.parent[root_j] = root_j
            dsu.parent[root_i] = root_i

        return result

    return recurse(0)


# 测试用例
assert count_permutations(['a', 'b', 'c']) == 3
assert count_permutations(['a', 'b', 'c', 'd']) == 12
assert count_permutations(['a', 'b', 'c', 'd', 'e']) == 60