毫升 | K-means++ 算法

介绍

K-means++ 算法是类别聚类（Clustering）算法中的一种，它是对 K-means 算法的优化改进，能够解决 K-means 算法初值敏感的问题。K-means++ 算法通过随机选择初始质心的方式，提高了初始质心的代表性，进而提高了算法的准确性和稳定性。本文主要介绍 K-means++ 算法的实现原理和相关优化。

实现原理

K-means++ 算法主要分为以下两个步骤：

1. 初始化 K 个质心
2. 迭代更新聚类结果

初始化 K 个质心

K-means++ 算法的初始化过程是 K-means 算法的改进之处，K-means 算法是随机初始化 K 个质心。K-means++ 算法通过引入加权概率分布，随机选择下一个质心，从而优化了初始质心的选择。具体步骤如下：

1. 从数据集中随机选择一个数据点作为第一个质心。
2. 计算每个数据点到已选择的所有质心的最短距离。
3. 选取一个新的质心，概率与其到已选择的所有质心的最短距离的平方成正比。
4. 重复步骤 2、3 直到选出 K 个质心。

迭代更新聚类结果

K-means++ 算法的聚类结果迭代更新过程与 K-means 算法相同，具体步骤如下：

1. 将所有数据点分配到距离它最近的质心所在的类中。
2. 计算每个类的中心点（也就是质心）。
3. 重复步骤 1、2 直到聚类结果收敛。

优化

除了 K-means++ 算法的初始化过程外，还有一些优化可以提高算法的效率和准确性。

平衡性优化

K-means++ 算法的初始化过程虽然优化了质心的选择，但它可能会导致不同质心间具有不同的聚类数量，从而导致分配给不同质心的数据点数量差别较大。为了避免这种不平衡性，可以通过限制每个质心所包含的数据点数量来平衡聚类结果。

多次运行优化

K-means 算法和 K-means++ 算法都存在初值敏感的问题，因此可以通过多次运行算法，选取最优的聚类结果来优化算法。

示例代码

以下是使用 Python 实现的 K-means++ 算法示例代码：

import numpy as np

def kmeans_pp(X, K):
    n, d = X.shape
    centroids = np.zeros((K, d))
    distances = np.full(n, np.inf)
    
    # 随机选择第一个质心
    centroids[0] = X[np.random.choice(n)]
    
    # 选择其它 K-1 个质心
    for i in range(1, K):
        squared_distances = np.sum((X - centroids[i-1])**2, axis=1)
        distances = np.minimum(distances, squared_distances)
        idx = np.random.choice(n, p=distances/np.sum(distances))
        centroids[i] = X[idx]
    
    # 迭代更新聚类结果
    old_labels = None
    while True:
        squared_distances = np.sum((X[:, np.newaxis] - centroids)**2, axis=2)
        labels = np.argmin(squared_distances, axis=1)
        if np.array_equal(labels, old_labels):
            break
        old_labels = labels
        for i in range(K):
            if np.sum(labels == i) == 0:
                continue
            centroids[i] = np.mean(X[labels == i], axis=0)
    
    return centroids, labels

代码中使用了 numpy 库来处理矩阵运算。以上代码可以处理任意维度的数据集 X，并且可以自定义聚类个数 K。