任何排列的绝对差的最大和

在编程中，我们经常需要处理排列，其中涉及到求绝对差的最大和。这个问题可以描述为：给定一个长度为n的排列p，找到一个排列q，使得sum(abs(p[i] - q[i]))的值最大。下面介绍两种解决这个问题的方法。

方法一：贪心算法

一种朴素的思路是将排列p按照从小到大排序，再将排列q按照从大到小排序，然后求解绝对差的最大和。下面是代码示例。

def max_abs_diff_sum(arr):
    n = len(arr)
    arr.sort()
    ans = 0
    for i in range(n):
        ans += abs(arr[i] - arr[n-i-1])
    return ans

这个算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中排序的复杂度为O(nlogn)，而求解绝对差的最大和的复杂度为O(n)。

方法二：动态规划算法

另一种解决这个问题的方法是使用动态规划。定义dp[i][j]为将前i个元素放置在前j个位置上时的绝对差的最大和，有如下状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][k] + abs(arr[i-1] - j)) for k in range(j)

其中，arr[i-1]表示第i个元素的值，j表示第i个元素在排列q中的位置。这个状态转移方程的含义是，将第i个元素放置在第j个位置上时，可以从之前放置在任意位置的元素转移而来。

下面是代码示例。

def max_abs_diff_sum(arr):
    n = len(arr)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][k] + abs(arr[i-1] - j) for k in range(j))
    return max(dp[n])

这个算法的时间复杂度为O(n^3)，其中状态转移的复杂度为O(n^2)，而初始化的复杂度为O(n^2)。虽然这个算法的时间复杂度比贪心算法高，但是它的状态转移方程更为直观，容易理解和推导。