通过从给定矩阵的每个单元格对角遍历来最大化总和

介绍

在这个问题中，我们需要遍历给定矩阵的所有对角线并找到使总和最大的路径。 对角线的定义是，路径从矩阵的左上角或右上角开始，然后沿着对角线移动到下一个单元格，最终到达矩阵的右下角或左下角。

例如，假设我们有以下矩阵：

[
 [1, 2, 3],
 [4, 5, 6],
 [7, 8, 9]
]

我们可以从左上角开始，遍历对角线并找到最大的总和。对角线 1, 5, 9 的总和为 15，对角线 3, 5, 7 的总和也为 15。我们应该选择哪条对角线？

在这个问题中我们会采用动态规划来解决这个问题。

解题思路

1. 对于给定的矩阵，每个单元格都有两个可能的方向：从左上角开始或从右上角开始。 因此，我们可以考虑分别计算从这两个方向开始遍历时的结果，并选择产生最大结果的方向。

2. 对角线的长度是不同的，因此我们不能使用一个固定大小的数组来保存结果。相反，我们使用一个字典来存储所有可能的对角线，并使用对角线长度作为字典的键。

3. 对于每个单元格，我们需要计算从左上角开始遍历时的最大结果和从右上角开始遍历时的最大结果。 最终结果是左上角和右上角产生的最大结果之和。

4. 为了计算从左上角开始遍历时的最大结果，我们可以使用一个动态规划数组 dp_left，其中 dp_left[i][j] 表示从左上角到矩阵中的单元格 (i, j) 的最大结果。 我们可以使用以下递推式来计算 dp_left：

   dp_left[i][j] = max(dp_left[i-1][j-1], dp_left[i-1][j], dp_left[i][j-1]) + matrix[i][j]
   

   其中，matrix[i][j] 是矩阵中单元格 (i, j) 的值。 最后，从 dp_left 中找到最长的对角线并返回其总和。

5. 为了计算从右上角开始遍历时的最大结果，我们可以使用一个动态规划数组 dp_right，其中 dp_right[i][j] 表示从右上角到矩阵中的单元格 (i, j) 的最大结果。 我们可以使用以下递推式来计算 dp_right：

   dp_right[i][j] = max(dp_right[i-1][j+1], dp_right[i-1][j], dp_right[i][j+1]) + matrix[i][j]
   

   最后，从 dp_right 中找到最长的对角线并返回其总和。

6. 最终结果是 dp_left 和 dp_right 产生的最大结果之和。

时间复杂度

这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，其中 $n$ 是矩阵的大小。

代码实现

下面是 Python 的实现代码：

def get_intersect_diagonal_sum(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])

    # calculate dp_left
    dp_left = {}
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if i == 0 or j == 0:
                dp_left[(i, j)] = matrix[i][j]
            else:
                dp_left[(i, j)] = max(dp_left[(i-1, j-1)], dp_left[(i-1, j)], dp_left[(i, j-1)]) + matrix[i][j]

    # calculate dp_right
    dp_right = {}
    for i in range(n):
        for j in range(m-1, -1, -1):
            if i == 0 or j == m-1:
                dp_right[(i, j)] = matrix[i][j]
            else:
                dp_right[(i, j)] = max(dp_right[(i-1, j+1)], dp_right[(i-1, j)], dp_right[(i, j+1)]) + matrix[i][j]

    # find max diagonal sum
    diagonal_sums = {}
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            diagonal_length = i + j + 1
            if diagonal_length not in diagonal_sums:
                diagonal_sums[diagonal_length] = 0
            diagonal_sums[diagonal_length] = max(diagonal_sums[diagonal_length], dp_left[(i, j)] + dp_right[(i, j)] - matrix[i][j])

    return max(diagonal_sums.values())

这个函数接受一个矩阵作为输入，并返回最大对角线总和。 在上面的代码中，我们先计算了从左上角开始遍历时的结果，然后计算了从右上角开始遍历时的结果，并将其保存在 dp_left 和 dp_right 中。 最后，我们计算了所有对角线的总和，并返回最大值。