门|门 CS 1997 |第 31 题

题目描述

给定 $n$ 个点和 $m$ 条无向边，选取 $k$ 个点作为门派，使得这 $k$ 个点构成一个联通块，并且其他 $n-k$ 个点都被至少一个门派所覆盖。求 $\min\limits_{k \leq i \leq n}{(i-k)w+\sum_{j=1}^kw_j}$，其中 $w_j$ 表示第 $j$ 个门派的点权，$w$ 表示每个点覆盖的代价。

输入格式

第一行两个正整数 $n$，$m$。

接下来 $n$ 行，每行一个非负整数 $w_i$ 表示第 $i$ 个点的点权。

接下来 $m$ 行，每行两个正整数 $u$，$v$，表示一条连接 $u$ 和 $v$ 的边。

输出格式

输出一个非负整数，表示最小花费。

输入样例1

5 5
0
6
2
6
1
1 2
2 3
3 1
3 4
4 5

输出样例1

9

输入样例2

2 0
0
0

输出样例2

0

算法1

1. 普通状压dp

此题是门派问题的一般形式，需要使用状压dp解决。具体地，设 $state$ 表示当前已经选择了哪些点，$dp[state]$ 表示选取 $state$ 中的点能够连接的所有点被完全覆盖的最小代价。则可以写出状态转移方程：$$dp[state]=\min\limits_{sub\subseteq state &&|sub|\ge k}{dp[sub]+(state-sub)w+\sum_{i\in sub}w_i}$$ 其中，$sub$ 是 $state$ 的一个子集，同时满足 $sub$ 中包含了至少 $k$ 个点。$(state-sub)w$ 表示剩余的没有被子集覆盖的点需要额外的代价，$\sum_{i\in sub}w_i$ 表示子集中的所有点所拥有的点权。

时间复杂度 $O(3^n)$。

算法2

1. 最小割

最小割建图问题可以将问题转化为最大流求解。具体地，在原グラフ上新增一个超级源点 $s$ 和一个超级汇点 $t$，然后在门派之间建立一条容量为 $\infty$ 的边，最后在剩下的点与源汇点之间连一条容量为 $w$ 的边。显然，原问题的一个门派组合（即一组门派的点）对应于由源点向这些门派连边，由门派之间连边和由剩余点向汇点连边构成的一个割。原问题中的门派数 $k$ 可以转化为图中割的大小不小于 $k$，即不小于 $k$ 条总流量大于 $w$ 的边。因此，只需要遍历割边，找到一条割边集合中最小的，同时其连接的点的数量不小于 $k$。在遍历割边时只需要采用 Dinic 算法即可。

时间复杂度 $O(mn^2 \log w)$。

C++ 代码：