门 | GATE CS 1997 | 问题6

问题描述

给定两个互素的正整数 $a$ 和 $b$，请设计一个程序，通过调用以下函数来确定是否存在整数 $x$ 和 $y$，满足方程 $ax + by = 1$。

int findSol(int a, int b, int *x, int *y)

如果方程存在整数解，则该函数将返回1，并将 $x$ 和 $y$ 存储在指定的地址中。如果没有整数解，则该函数将返回0。你可以假定 $a < b$，但 $a$ 和 $b$ 的值大约在 $10^9$ 级别。

思路

该问题可以通过扩展欧几里得算法来解决。扩展欧几里得算法通常用于在求过程中找到两个数的最大公约数的同时，寻找一组特殊的解。该算法可以通过迭代应用欧几里得算法并跟踪一些额外信息来实现。假设我们要找到一个方程 $ax + by = gcd(a,b)$ 的特殊解。我们首先使用欧几里得算法找到 $gcd(a,b)$，然后递归地解决 $b$ 和 $a$ mod $b$ 之间的子问题。假设 $bx' + (a \mod b)y' = gcd(b, a \mod b)$，我们可以证明 $x' 和 y' 满足方程 ax + by = gcd(a,b)$，其中 $x = y'$ 且 $y = x' - a // b * y'$。

对于本问题，我们需要找到一组特殊的解 $ax + by = 1$。由于 $a$ 和 $b$ 是互素的，因此 $gcd(a,b) = 1$。我们可以使用扩展欧几里得算法来找到该解。

代码实现

以下是 C++ 代码实现，用于找到一组特殊的解 $ax + by = gcd(a,b)$。然后我们在该函数中套用该解：

// Find a solution to ax + by = gcd(a,b)
int extendedGCD(int a, int b, int *x, int *y) {
    if (a == 0) {
        *x = 0;
        *y = 1;
        return b;
    }

    int x1, y1;
    int gcd = extendedGCD(b % a, a, &x1, &y1);
    *x = y1 - (b / a) * x1;
    *y = x1;
    return gcd;
}

// Find a solution to ax + by = 1
int findSol(int a, int b, int *x, int *y) {
    int gcd = extendedGCD(a, b, x, y);
    if (gcd != 1) {
        return 0;
    }

    // Wrap around x
    *x = (*x % b + b) % b;
    return 1;
}

参考资料

• 扩展欧几里得算法