国际空间研究组织 | ISRO CS 2009 | 问题 80

这是国际空间研究组织（ISRO）在2009年的计算机科学考试中的第80道问题。以下是该问题的描述和解答。

问题描述

给定一个包含 $n$ 个元素的数组 $A$，实现一个算法来找到出现次数超过 $\frac{n}{2}$ 次的元素。假设这样的元素一定存在。

解答

这个问题可以使用摩尔投票算法（Moore's Voting Algorithm）来解决。该算法的核心思想是遍历数组并按顺序处理每个元素。对于当前处理的元素，维护两个变量 $m$ 和 $c$：

• $m$ 表示当前的“候选元素”，即出现次数超过 $\frac{n}{2}$ 次的元素。
• $c$ 表示当前元素的“票数”，即到目前为止，$m$ 所表示的候选元素在数组中出现的次数减去其他元素出现的次数的结果。

算法开始时，将 $m$ 设为数组的第一个元素，并将 $c$ 设为 1。接下来，从数组的第二个元素开始遍历。如果当前元素与 $m$ 相同，则将 $c$ 加 1。否则，将 $c$ 减 1。如果 $c$ 变为 0，则说明 $m$ 的票数不足以超过其他元素的票数，需要将 $m$ 更新为当前元素，并将 $c$ 设为 1。当遍历完整个数组后，$m$ 就是出现次数超过 $\frac{n}{2}$ 次的元素。

以下是 Python 代码实现：

def majority_element(nums):
    candidate = nums[0]
    count = 1
    for i in range(1, len(nums)):
        if nums[i] == candidate:
            count += 1
        else:
            count -= 1
            if count == 0:
                candidate = nums[i]
                count = 1
    return candidate

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。