概述

在给定一组硬币的情况下，我们想要最小化使用的硬币数量，以便得到最多N的值。这是一个经典的动态规划问题，通常被称为“零钱兑换”问题。

动态规划

动态规划是一种解决多阶段决策过程的方法，通过将问题分解为子问题来简化问题。我们可以使用动态规划算法来解决零钱兑换问题。

在零钱兑换问题中，我们定义一个$dp$数组，其中$dp[i]$表示在总金额为$i$时所需的最小硬币数量。然后我们可以使用以下递推式来计算$dp$数组：

for (int coin : coins) {
    for (int i = coin; i <= amount; i++) {
        dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
    }
}

在上述递推式中，$coin$表示可以使用的硬币，$i$表示当前总金额，$dp[i]$表示在总金额为$i$时所需的最小硬币数量。我们通过迭代硬币和金额来计算$dp$数组。

代码实现

下面是在Java中实现零钱兑换问题的示例代码：

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int[] dp = new int[amount + 1];
    Arrays.fill(dp, amount + 1);
    dp[0] = 0;
    for (int coin : coins) {
        for (int i = coin; i <= amount; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
        }
    }
    return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}

在上述代码中，我们首先初始化一个大小为$amount + 1$的$dp$数组。然后我们使用$Arrays.fill$方法将$dp$数组的所有元素初始化为$amount + 1$。这可以确保我们可以最终得到一个有效的解。

我们将$dp[0]$初始化为0，因为总金额为0时不需要任何硬币。接下来，我们使用上述递推式计算$dp$数组。最后，我们返回$dp[amount]$。如果$dp[amount] > amount$，则说明我们无法为总金额为$amount$找到一个有效的解。

总结

零钱兑换问题是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法来解决。我们定义一个$dp$数组，其中$dp[i]$表示在总金额为$i$时所需的最小硬币数量。然后我们使用动态规划的递推式来计算$dp$数组。最后，我们返回$dp[amount]$。

关于本题如果同时需要输出最小化所需的硬币方案的解法，在实现上与刚刚介绍的动态规划方法类似，可以使用一个$parent$数组来记录在计算$dp$数组时选择的硬币。然后我们可以通过回溯$parent$数组来确定最优解的硬币方案。