GATE CS 2021 | 设置 1 | 问题 25

本题包含了一道计算机科学中经典的问题：如何判断某一个图是否为二分图。下面是一份参考代码，可以用来解决这个问题。

首先，让我们来讲一下什么是二分图。一个图被称为二分图，当且仅当它的所有点可以被分为两个不相交的部分，使得这些部分内的点之间没有边相连。当然，我们也可以将一个二分图视为一张只有两种着色的图。

考虑使用深度优先搜索算法（DFS）来判断一个图是否为二分图。我们将从一个任意节点开始，先将其染为一种颜色，然后遍历所有与该节点相连的节点，将这些节点染为另一种颜色。如果在遍历的过程中发现了一个节点，其邻接节点已经被染成与自身相同的颜色，则可以判断这个图不是二分图。

下面是该算法的代码片段：

def is_bipartite(graph):
    colors = {}
    def dfs(node, color):
        if node in colors:
            return colors[node] == color
        colors[node] = color
        return all(dfs(adj, ~color) for adj in graph[node])
    return all(dfs(node, 0) for node in graph if node not in colors)

我们可以看到，is_bipartite 函数接受一个图的表示（在本例中，我们假设图通过邻接矩阵的方式来表示），该图由一个字典结构的邻接表构成。然后我们定义 colors 来存储每一个节点的着色信息。接下来定义了一个内部函数 dfs 来执行深度优先搜索算法。该函数接受两个参数：node 为当前遍历的节点，color 表示当前节点要染成的颜色。如果两端的颜色相同，该节点为非二分图，返回 False。否则递归遍历每个相连节点，将其染成与当前节点不同的颜色。最后，调用 dfs 函数进行全局遍历，以保证每个节点都被正确染色并返回正确的结果。

为了测试该函数是否正确，我们可以执行以下代码。

graph = {
    1: [2, 4],
    2: [1, 3],
    3: [2, 4],
    4: [1, 3],
}
assert is_bipartite(graph) == True

graph = {
    1: [2, 3],
    2: [1, 3],
    3: [1, 2, 4, 5],
    4: [3, 5],
    5: [3, 4],
}
assert is_bipartite(graph) == False

在本例中，我们可以看到问题给了两个含有不同边的例子。第一个例子是一个四个节点的环，该图是二分图。第二个例子是一个五个节点的环，该图不是二分图。我们在代码中测试 is_bipartite 函数来检验算法的正确性。