门 | GATE CS Mock 2018 |设置 2 |第 55 题

题目描述

有 $n$ 个门和 $m$ 个钥匙，每个门和钥匙都有一个数字编号。有些门需要对应的钥匙才能打开。你需要设计一个算法，判断这些门是否均可以被打开。你可以选择任意一个门或是钥匙开始寻找。

例如，若有 $5$ 个门和 $5$ 个钥匙，它们的编号分别为 $1, 2, 3, 4, 5$，其中第 $2$ 个门需要第 $2$ 个钥匙才能打开，第 $3$ 个门需要第 $1$ 个钥匙才能打开，那么输入为：

5 5
1 3 5
2 2 3

输出为：

1

解题思路

题目中提到每个门和钥匙都有数字编号，可以考虑使用哈希表存储门和钥匙之间的关系。具体的，我们将钥匙和门的编号作为键，将所对应的门或钥匙的编号作为值存入哈希表。

然后选择任意一个门或是钥匙开始寻找。我们可以使用深度优先遍历（DFS）或广度优先遍历（BFS），遍历到一个门时，如果对应的钥匙不在手中，则查找是否已经找到该钥匙（即该钥匙是否在队列中或是已经被访问），如果已经找到该钥匙，则可以将该门打开，否则需要继续遍历；遍历到一个钥匙时，如果当前门没有被打开，则需要查找是否已经找到该门（即该门是否在队列中或是已经被访问），如果已经找到该门，则可以将该钥匙拿到手中，否则需要继续遍历。如果所有的门都可以被打开，则算法返回 $1$，否则返回 $0$。

需要注意的是，查找是否已经找到门或钥匙时，可以使用哈希表判断，而不是使用线性查找，这样可以将时间复杂度降到 $O(1)$。

代码实现

以下是使用深度优先遍历（DFS）实现的代码：

from collections import defaultdict

def dfs(graph, visited, v, key_set):
    visited[v] = True
    for u in graph[v]:
        if u in key_set:
            key_set.remove(u)
            if not key_set:
                return True
        elif not visited[u]:
            if dfs(graph, visited, u, key_set):
                return True
    return False


def can_open(doors, keys):
    graph = defaultdict(list)
    for d, k in doors:
        graph[d].append(k)
        graph[k].append(d)
    for i in range(len(doors)):
        visited = defaultdict(bool)
        key_set = set(keys)
        if dfs(graph, visited, doors[i][0], key_set):
            return 1
    return 0

以下是使用广度优先遍历（BFS）实现的代码：

from collections import defaultdict, deque

def bfs(graph, visited, v, key_set):
    queue = deque([v])
    visited[v] = True
    while queue:
        v = queue.popleft()
        for u in graph[v]:
            if u in key_set:
                key_set.remove(u)
                if not key_set:
                    return True
            elif not visited[u]:
                visited[u] = True
                queue.append(u)
    return False


def can_open(doors, keys):
    graph = defaultdict(list)
    for d, k in doors:
        graph[d].append(k)
        graph[k].append(d)
    for i in range(len(doors)):
        visited = defaultdict(bool)
        key_set = set(keys)
        if bfs(graph, visited, doors[i][0], key_set):
            return 1
    return 0

注意，以上代码片段均为Python 3实现。

复杂度分析

假设有 $n$ 个门和 $m$ 个钥匙，则构建哈希表的时间复杂度为 $O(n + m)$，用哈希表存储门和钥匙之间的关系的空间复杂度为 $O(n + m)$。

对于DFS实现的代码，时间复杂度为 $O(n(m+n))$，空间复杂度为 $O(m+n)$。对于BFS实现的代码，时间复杂度为 $O(n(m+n))$，空间复杂度为 $O(m+n)$。