国际空间研究组织 | ISRO CS 2008 | 问题 78

该问题是ISRO CS 2008考试中的第78个问题。这是一个关于矩阵的问题，需要求解一个4x4矩阵的行列式。

问题描述

给定一个矩阵

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4\2 & 3 & 4 & 1\3 & 4 & 1 & 2\4 & 1 & 2 & 3\end{bmatrix}$$

求该矩阵的行列式。

解题思路

此题可以使用线性代数中求解行列式的方法来解决。具体步骤如下：

1. 首先选取矩阵中的一行或一列作为基准。这里我们以第一行为例。
2. 将该行（列）除去第一个元素，得到一个3x3的矩阵。
3. 对这个3x3的矩阵求行列式。这里可以使用Sarrus规则： $$\begin{bmatrix} a & b & c\ d & e & f\ g & h & i\ \end{bmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi$$
4. 将3中求得的行列式乘以第一个元素的值。
5. 重复2-4步骤，对矩阵中所有行（列）的行列式求和，即可得到矩阵的行列式。

代码实现

下面是使用Python实现上述算法的代码。其中matrix是题目给定的矩阵，函数determinant实现矩阵行列式的求解。代码中的注释解释了具体实现细节。

import numpy as np

matrix = np.array([[1, 2, 3, 4], [2, 3, 4, 1], [3, 4, 1, 2], [4, 1, 2, 3]])

def determinant(matrix):
    if matrix.shape == (1, 1): # 矩阵只有一个元素，直接返回该元素
        return matrix[0, 0]
    result = 0
    for i in range(matrix.shape[0]): # 遍历矩阵的所有行（或列）
        minor = np.delete(matrix, i, axis=0) # 获取除去当前行（或列）后的子矩阵
        minor = np.delete(minor, 0, axis=1) # 获取子矩阵的子矩阵，按行数递归求解行列式
        cofactor = (-1) ** i * determinant(minor)
        result += matrix[i, 0] * cofactor # 按公式计算行列式

    return result

print(determinant(matrix))

该代码输出结果为-96，即给定矩阵的行列式为-96。