门 | GATE-CS-2002 | 问题 13

这是一道GATE-CS-2002的考题，考察了程序员的数据结构和算法的能力。

题目描述：

给定一个数组 $A$，其长度为 $n$。你需要做的是在数组中找到一个数字 $m$，满足数组的前半部分数字的和等于后半部分数字的和。

如果存在这样的数字，那么返回 $1$。反之，返回 $-1$。

例如，对于以下数组：

$A = {3, 1, 4, 2, 2, 1}$

我们可以把它划分为两个子数组：${3, 1, 4}$和${2, 2, 1}$。它们的和均为 $8$。因此，会返回 $1$。

以下是这道题的解决方式：

思路

一个相对简单的思路是将数组分成前半部分和后半部分，分别计算它们的和。然后逐个比较它们的和看是否相等。

代码片段如下：

def find_m(A):
    n = len(A)
    for i in range(n):
        left_sum = sum(A[:i])
        right_sum = sum(A[i+1:])
        if left_sum == right_sum:
            return 1
    return -1

但是这种算法的复杂度为 $O(n^2)$，在处理大样本时会非常耗时。

更好的解决方案是使用前缀和（Prefix Sum）算法。这个算法是在 $O(n)$ 时间和空间复杂度条件下计算前缀和。

前缀和算法

前缀和算法是在数组中存储前缀和然后使用它们来计算子数组中元素之和的算法。前缀和是指从数组的开头开始，到当前位置的所有元素之和。

如果 $A$ 是原始数组，$S$ 是前缀和数组，那么有：

$S_i = \sum_{j=0}^{i-1}A_j$

下面是前缀和算法的代码实现：

def prefix_sum(A):
    S = [0] * (len(A) + 1)
    for i in range(1, len(A)+1):
        S[i] = S[i-1] + A[i-1]
    return S

有了前缀和算法之后我们可以将数组分成前半部分和后半部分，分别计算它们的和，然后逐个比较它们的和看是否相等。代码实现如下：

def find_m(A):
    n = len(A)
    S = prefix_sum(A)
    for i in range(1, n+1):
        left_sum = S[i-1]
        right_sum = S[n] - S[i]
        if left_sum == right_sum:
            return 1
    return -1

这个算法的复杂度是 $O(n)$，是非常高效的解决方案。

总结

这道问题考察了程序员对数据结构和算法的掌握能力。

解决方案是使用前缀和算法，将数组分成前半部分和后半部分，分别计算它们的和，然后逐个比较它们的和看是否相等。

实现的代码片段可以参考上文。