状态消除法将 DFANFAƐ-NFA 转换为正则表达式

在自动机理论中，正则表达式是用于描述字符串集合的一种方式。在有限状态自动机中，将自动机转换为正则表达式可以更好地理解和优化自动机。

在本文中，我们将介绍如何使用状态消除法将确定有限状态自动机（DFANFA）转换为非确定有限状态自动机（NFA），然后使用Thompson构造法将NFA转换为正则表达式。

步骤一：将 DFANFA 转换为 NFA

状态消除法是一种将DFA转换为NFA的算法。它通过将DFA的状态拆分，并为新状态添加转移来创建新的NFA，以便通过解决矛盾状态之间的冲突来处理拆分的状态。

以下是转换DFANFA到NFA的步骤：

1. 对于每个状态$ q_ $，创建一个引入状态$ q_ {in} $和一个出口状态$ q_ {out} $。

2. 对于每个输入字符$ a $，添加从入口状态到出口状态的转换。

   如果$ q_ $在输入字符$ a $下输出到一个状态$ p $，则添加从$ q_ {in} $到$ p_ {in} $的转换。

   如果其中一个转换不存在，则直接从$ q_ {in} $到$ q_ {out} $添加转换。

3. 如果在某个状态对$ p, q $的情况下，$ p_ {in} $通过递归调用到达$ q_ {out} $，则添加从$ p_ {out} $到$ q_ {in} $的转换。

在此完成后，您现在具有一个NFA。下一步是将其转换为正则表达式。

步骤二：将 NFA 转换为正则表达式

Thompson的构造法提供了一种将NFA转换为正则表达式的方法。它将每个状态映射到一个正则表达式，并将表达式组合为大的表达式。

以下是转换NFA到正则表达式的步骤：

1. 对于每个状态，创建一个匹配由状态表示的字符串的正则表达式。

   如果状态为初始状态，则正则表达式是$ \epsilon $。

   如果状态为接受状态，则正则表达式是$ \epsilon $。

   否则，正则表达式是空。

2. 对于每个NFA状态$ p $和$ q $，如果有一条从$ p $到$ q $的转换，则将它们的正则表达式组合起来。

   如果转换为输入字符$ a $，则表达式为（$ p $的表达式）.$ a $ .（$ q $的表达式）。

   如果有ε转换，则表达式为（$ p $的表达式）.|（$ q $的表达式）。

3. 对于整个NFA，表达式就是初始状态的表达式。

在此完成后，您现在具有一个从DFANFA到正则表达式的映射。

代码实现

以下是使用Python实现从DFANFA到正则表达式的状态消除和Thompson算法的示例代码：

def dfa_to_nfa(dfa):
    # State elimination algorithm
    nfa = {}

    # Create new NFA states for each DFA state
    for q in dfa:
        nfa[q] = {
            'in': q + '_in',
            'out': q + '_out',
            'transitions': {},
            'accept': dfa[q]['accept'],
        }

    # Add transitions to NFA
    for q in dfa:
        for a in dfa[q]['transitions']:
            p = dfa[q]['transitions'][a]
            nfa[q]['transitions'][a] = p + '_in'

            if p in dfa and dfa[p]['accept']:
                nfa[p + '_in'] = {
                    'in': None,
                    'out': p + '_out',
                    'transitions': {'': q + '_out'},
                    'accept': True,
                }
            else:
                if p not in nfa:
                    nfa[p] = {
                        'in': p + '_in',
                        'out': p + '_out',
                        'transitions': {},
                        'accept': False,
                    }
                nfa[p + '_in'] = {
                    'in': None,
                    'out': p + '_out',
                    'transitions': {'': q + '_out'},
                    'accept': False,
                }

    # Add final states to NFA
    final_states = [nfa[q]['out'] for q in dfa if dfa[q]['accept']]
    nfa[None] = {
        'in': None,
        'out': None,
        'transitions': {},
        'accept': False,
    }

    for state in final_states:
        nfa[None]['transitions'][''] = state

    return nfa

def nfa_to_regex(nfa):
    # Thompson's construction algorithm
    regex = {}
    for q in nfa:
        regex[q] = '𝜀' if nfa[q]['accept'] else ''

    for q in nfa:
        for a in nfa[q]['transitions']:
            p = nfa[q]['transitions'][a]
            if a:
                if regex[p]:
                    regex[p] = '(' + regex[p] + '|' + regex[q] + '.' + a + ')'
                else:
                    regex[p] = regex[q] + '.' + a
            else:
                if regex[p]:
                    regex[p] = '(' + regex[p] + '|' + regex[q] + ')'
                else:
                    regex[p] = regex[q]

    return regex[nfa[0]['in']]

总结

状态消除和Thompson构造法提供了一种将DFANFA转换为正则表达式的有效方式。该算法可以应用于自动机理论，编译器设计和文本处理等领域。理解这些算法的原理可以帮助你更好地掌握正则表达式的相关概念。