如何在Python中实现NFA

概述

有限状态自动机（Finite State Automaton）是计算机科学中常见的模型，用于解决字符串匹配、正则表达式匹配等问题。有限状态自动机包括确定性有限状态自动机（DFA）和非确定性有限状态自动机（NFA）。本文主要介绍如何在Python中实现NFA。

NFA的定义

NFA是一个五元组$(Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$，其中

• $Q$是有限状态集合。
• $\Sigma$是输入符号（或字符）的有限集合。
• $\delta$是从$Q \times (\Sigma \cup {\varepsilon})$到$2^Q$的某个关系。
• $q_0$是初始状态，$q_0 \in Q$。
• $F$是终止状态集合，$F \subseteq Q$。

NFA的示例

为了更好地理解NFA，我们以一个示例来说明。

例如，我们想要匹配字符串"abab"。可以构造如下的NFA：

• $Q = {q_0, q_1, q_2, q_3}$
• $\Sigma = {a, b}$
• $\delta(q_0, a) = {q_1}$，$\delta(q_1, b) = {q_2}$，$\delta(q_2, a) = {q_3}$，$\delta(q_3, b) = {q_0}$
• $q_0$是初始状态，$q_0 \in Q$。
• $F = {q_0}$

NFA的状态转移可以表示为如下的状态转换图：

      ┌───a───┐      ┌───a───┐
┌───┐ │       ▼      │       ▼ ┌───┐
│q_0│─┤       q_1     │       q_3│q_0│
└───┘ │       │      b│       │ └───┘
      └───b───┘      └───b───┘ 
       │                 │      
       ▼                 ▼      
      ┌───b───┐      ┌───a───┐
      │       │      │       │
      │ q_2   │      │ q_1   │
      │       ├─────►│       │
      └───a───┘      └───b───┘

我们从$q_0$开始，遇到字符$a$转移到状态$q_1$，遇到字符$b$转移到状态$q_2$，遇到字符$a$转移到状态$q_3$，遇到字符$b$转移到状态$q_0$，字符串匹配成功。

Python实现NFA

现在，我们来学习如何在Python中实现NFA。

首先，我们需要定义NFA的状态转移函数$\delta(q, a)$。由于$\delta(q, a)$返回的是一个状态集合，我们可以用Python的set来存储状态集合。

def delta(states, symbol):
    result = set()
    for state in states:
        if (state, symbol) in transitions:
            result.update(transitions[(state, symbol)])
    return result

其中，transitions是一个字典，表示从一个状态和输入字符到另一个状态的转移关系。

transitions = {
    (1, 'a'): {2, 4},
    (2, 'b'): {3},
    (3, 'a'): {3},
    (3, 'b'): {3},
    (4, 'a'): {5},
    (5, 'b'): {6},
    (6, 'a'): {7},
    (7, 'b'): {8},
}

然后，我们可以定义一个函数来检查某个字符串是否可以被该NFA接受。

def accept(string, start_state, final_states):
    current_states = {start_state}
    for symbol in string:
        current_states = delta(current_states, symbol)
    return bool(current_states & final_states)

其中，start_state是NFA的初始状态，final_states是NFA的终止状态集合。

最后，我们来看一下如何使用该NFA来匹配字符串。

start_state = 1
final_states = {8}

assert accept("abab", start_state, final_states) == True
assert accept("ab", start_state, final_states) == False

在上面的例子中，我们使用NFA匹配了字符串"abab"，并且验证了它可以被接受。同时，我们还使用了另一个字符串"ab"，验证了它不可以被接受。

总结

通过本文，我们了解了NFA的定义、示例，以及如何在Python中实现NFA。总的来说，NFA是一种强大的模型，可以应用到字符串匹配、正则表达式匹配等各种领域。希望本文能够帮助读者更好地理解NFA，并在实际应用中发挥作用。