门|门 IT 2008 | 第39题

本题为门|门 IT 2008年的一道编程题，涉及到算法和数据结构的知识。

题目描述

有一堆石子，两人轮流取，每人最少取1颗，最多取K颗，取到最后一颗石子的人胜利，问先手是否必胜。

解题思路

这是一道博弈论的题目，可以使用递归+记忆化搜索的方法来解决。

设 $dp[i]$ 表示当前还剩下 $i$ 个石子时，先手是否必胜，如果必胜则返回1，否则返回0。则有如下递推式：

$$dp[i] = \begin{cases}0,&i<1\\max\limits_{1\le j\le k}{1-dp[i-j]},&1\le i\le k\1,&i>k\end{cases}$$

其中，当 $i<1$ 时，先手必败，因为没有石子可取；当 $1\le i\le k$ 时，先手应当取走 $j$ 颗石子，使得后手面对的状态 $dp[i-j]$ 为必败态，这样先手就可以通过轮流操作将后手逼入必败态，从而获胜；当 $i>k$ 时，无论先手如何操作，后手都可以通过同样的策略将先手逼入必败态，因此先手必败。

为了避免重复计算，可以使用记忆化搜索来优化。

代码片段

def dfs(dp, i, k):
    if dp[i] != -1:
        return dp[i]
    if i < 1:
        dp[i] = 0
    elif i <= k:
        dp[i] = 0
        for j in range(1, i + 1):
            if dfs(dp, i - j, k) == 0:
                dp[i] = 1
                break
    else:
        dp[i] = 1
    return dp[i]

def canWin(n, k):
    dp = [-1] * (n + 1)
    return dfs(dp, n, k)

以上是 python3 的代码实现，其中 canWin(n, k) 函数返回先手是否必胜，$n$ 表示石子堆的大小，$k$ 表示每个人最多可以取走的石子数。