门|门 IT 2008 |第 62 题

这是一道门|门 IT 2008 年的第 62 题，它是一道程序设计题目。以下是题目描述：

题目

给定一个正整数 n，求最少需要多少个完全平方数相加，得到 n。

例如，对于 n=12，答案为 3；因为 12=4+4+4。

解题思路

这道题可以使用广度优先搜索来解决。我们从 n 开始，不断减去一个完全平方数，直到减到 0，最小的减数的个数就是我们要求的答案。

具体来说，我们可以从 n 出发，减去一个 kk 的完全平方数，得到新的数 m=n-kk。我们继续从 m 出发，不断减去完全平方数，直到减到 0，或者得到一个负数。如果得到了 0，那么我们就找到了一种满足题意的解法；否则，我们就回退到上一个节点，继续寻找下一个完全平方数。

代码片段如下：

import math

def num_squares(n: int) -> int:
    # 初始化队列和 steps 数组
    queue, steps = [(n, 0)], {}
    
    while queue:
        num, step = queue.pop(0)
        # 如果已经找到了解法，就返回
        if num == 0:
            return step
        # 枚举所有完全平方数
        for i in range(1, int(math.sqrt(num))+1):
            new_num = num - i*i
            # 如果得到了负数，就退出循环
            if new_num < 0:
                break
            # 如果这个状态没有被访问过，就把它加入队列
            if new_num not in steps:
                steps[new_num] = step + 1
                queue.append((new_num, step+1))
    return -1

总结

本题使用了广度优先搜索的思路，将问题转化为了一个图上的搜索问题。虽然这个算法的时间复杂度较高，但是对于这个问题来说还是可以接受的。如果对于时间要求更高的问题，我们可以考虑其他的算法，比如记忆化搜索或者动态规划等。