门|门 IT 2008 第 64 题 - 介绍

这是一道程序设计题目，旨在检验程序员的编程能力。题目要求实现某种算法或功能，具体的要求和输入输出格式将在题目描述中给出。

题目描述

题目描述可在门|门 IT 2008 第 64 题中找到。

简而言之，题目要求实现一个支持插入、删除、查询最大数的数据结构，其中最大数指的是当前整个数据结构中第 $k$ 大的数。

解题思路

此题可以使用多种数据结构来实现，例如平衡树、线段树、堆等等。以下以堆为例进行解析。

解法一 - 大根堆

每次插入元素时将其加入堆中，同时维护根据权值排序的堆。同时用一个 $k$ 变量储存第 $k$ 大的数的值。如果插入的数小于等于该变量，则直接丢弃；如果插入的数大于该变量，则更新 $k$ 变量，将堆的大小限制为 $k$。每次查询最大值则直接返回堆顶元素。

插入时间复杂度为 $O(\log n)$，查询最大值时间复杂度为 $O(1)$，删除操作需要通过将堆顶元素与最后一个元素交换并弹出，然后通过 sift down 操作将新的堆顶元素下沉到其应处位置。删除操作的时间复杂度为 $O(\log n)$。

解法二 - 维护有序数组

插入元素时将其插入到有序数组中的正确位置。每次查询最大值则直接返回数组的最后一个元素。同时用一个 $k$ 变量储存第 $k$ 大的数的值。如果插入的数小于等于该变量，则直接丢弃；如果插入的数大于该变量，则更新 $k$ 变量，将数组大小限制为 $k$。删除操作同样需要通过将对应位置的值删除。

插入时间复杂度为 $O(n)$，查询最大值时间复杂度为 $O(1)$，删除操作的时间复杂度取决于元素在数组中的位置，最坏情况下为 $O(n)$。

结论

在此题中，使用大根堆的解法相对简单并且在时间复杂度上处于优势地位，因此建议使用大根堆来实现该数据结构。

以下是使用 Python3 实现的大根堆代码片段：

import heapq

class KthLargest:
    def __init__(self, k: int, nums: List[int]):
        self.k = k
        self.nums = []
        for num in nums:
            self.add(num)

    def add(self, val: int) -> int:
        heapq.heappush(self.nums, val)
        if len(self.nums) > self.k:
            heapq.heappop(self.nums)
        return self.nums[0]

代码中使用 Python3 的 heapq 库来实现堆。在初始化时，将输入的元素依次添加到堆中，通过实现 add 方法来添加新的元素。其中 self.nums 为保存数据的堆，每次添加完成后如果数据量超过了 k，则弹出堆顶元素，以维护堆的大小为 k。查询最大值时直接返回堆顶元素即可。