资质 | GATE CS 1998 | 问题22

该问题是GATE CS 1998年的计算机科学考试中的第22个问题。这是一个与数据结构和算法相关的问题。

题目描述

给定一个带权重的无向连通图，其中每个边（u,v）的权重是整数W（u,v）。选择一个子集S包含所有节点，并且使得S中的节点互相不可达。定义S的权重为S中边的总重量。找到S的最小可能的权重。

解决方案

该问题是图论中常见的最小割问题的一个变体。最小割问题的目标是将一个图分为两个不相交的子集，并最小化这两个子集之间的权重。

一种常见的解决方法是使用Karger算法或其变种。该算法基于随机缩放技术，其随机地选择图中的两个节点并将它们合并为一个节点。该过程重复进行，直到仅剩两个节点为止。最后，剩下的两个节点之间的所有边就是最小割。

对于该问题，我们可以使用Karger算法的变种，称为Random Contraction Algorithm，来寻找最小的互相不可达子集。该算法也是基于随机缩放技术的，并且可以在O（V^2 E）的时间内计算出最小割。

# Python 代码示例

from random import randint

def min_cut(graph):
    vertices = list(graph.keys()) #将每个节点保存到一个列表中
    while len(vertices) > 2:
        u = vertices[randint(0, len(vertices)-1)] #从列表中随机选择一个节点
        neighbors = list(graph[u].keys()) #获取该节点的所有邻居
        v = neighbors[randint(0, len(neighbors)-1)] #从邻居节点中随机选择一个节点
        #将u节点的边并入v节点的边中
        for w, weight in graph[u].items():
            if w != v:
                if w in graph[v]:
                    graph[v][w] += weight
                else:
                    graph[v][w] = weight
                del graph[w][u]
        del graph[u] #删除节点u
        vertices.remove(u) #从节点列表中删除u节点
    return graph[vertices[0]][vertices[1]] #返回最小割的权重

总结

该问题是一个标准的图论问题，其解决方案基于最小割算法的变种。我们可以使用随机缩放来计算图的最小割，并将其修改为找到最小权重的互相不可达子集。此外，还可以使用其他图分区算法，例如Karger-Stein算法和Dinic算法，以获得更准确的结果。