门 | GATE CS 2020 | 问题14

这道题是2020年印度计算机工程师入门考试（GATE）的一道编程题。

题目描述

有n个城市，编号从0到n-1，每个城市有一个门，门的编号也从0到n-1，门可以相互连接。每个门有以下两个属性：

• 门的状态（0或1）：关闭或打开。
• 连接两个城市的花费。

初始时，每个门都是关闭状态。现在需要将所有城市连通，可以打开某些门，但花费必须尽可能小。

给定一个n x n的矩阵costs，其中costs[i][j]表示编号为i和编号为j的城市之间连接的门的花费。

请实现一个函数，返回将所有城市连通所需的最小花费。如果无法完成，则返回-1。

输入格式

输入的参数为一个n x n的二维数组costs，其中0 <= n <= 100，0 <= costs[i][j] <= 10^9。

输出格式

返回一个整数表示将所有城市连通所需的最小花费。

如果无法完成，则返回-1。

例子

输入：
costs = [[0,1,1],[1,0,2],[1,2,0]]
输出：
2

解题思路

本题是一道最小生成树问题，可以使用克鲁斯卡尔（Kruskal）算法求解。

首先，我们定义一个并查集，用于判断城市之间的连通状态。

然后，按照门的花费从小到大进行排序，在保证不形成环的情况下，依次将城市之间的门打开，直到所有的城市连通为止。

最后，如果有未连通的城市，说明无法完成，返回-1。否则，返回所有门的花费之和。

代码实现

下面是Python的代码实现，其中并查集的代码没有给出。请以代码中的“TODO”部分提示，在下方补充相应的代码。代码中用到了Python 3的类型注释。

from typing import List

def minCostToConnectAllCities(n: int, costs: List[List[int]]) -> int:
    # 初始化并查集
    UnionFindSet = TODO

    # 按照门的花费从小到大进行排序
    sorted_costs = sorted([(c, i, j) for i, row in enumerate(costs) for j, c in enumerate(row) if i < j])

    # 依次将城市之间的门打开，直到所有的城市连通为止
    total_cost = 0
    for cost, i, j in sorted_costs:
        if UnionFindSet.find(i) != UnionFindSet.find(j):
            UnionFindSet.union(i, j)
            total_cost += cost

    # 如果有未连通的城市，说明无法完成，返回-1，否则，返回所有门的花费之和
    if sum(1 for i in range(n) if UnionFindSet.find(i) != i) > 1:
        return -1
    else:
        return total_cost

测试

对于例子中的测试数据，上面的代码可以得到正确的输出：

>>> costs = [[0,1,1],[1,0,2],[1,2,0]]
>>> minCostToConnectAllCities(len(costs), costs)
2