门| GATE CS 2020 |问题18

本问题与离散数学相关，主要考察对逻辑、布尔代数以及数理逻辑的理解能力。

问题描述

设$p,q,r$是命题变量，用$\neg,\land,\lor$表示否定、与、或运算。则下列命题等价于$(p\Rightarrow q)\Rightarrow r$的是( )。

(A) $p\Rightarrow(q\Rightarrow r)$

(B) $(p\land\neg q)\lor r$

(C) $q\Rightarrow(p\Rightarrow r)$

(D) $\neg p\Rightarrow(q\Rightarrow\neg r)$

解题思路

本题需要我们判断哪个选项是等价的，等价关系的定义是两个命题在所有情况下均为真或者均为假，因此我们需要分别分析四个选项与$(p\Rightarrow q)\Rightarrow r$等价的情况。

首先，我们可以将原命题转化为$(\neg(p\Rightarrow q))\lor r$，即$(\neg(\neg p\lor q))\lor r$。

对于选项$(A)$，可以将其转化为$p\Rightarrow(\neg q\Rightarrow r)$，即$\neg(\neg p\lor\neg q)\lor r$，比较两个命题可以发现它们不等价。举个例子，当$p$为假、$q$为假、$r$为真时，原命题为真，而选项$(A)$为假。

对于选项$(B)$，可以将其转化为$(p\Rightarrow r)\lor(\neg q\Rightarrow r)$，即$(\neg p\lor r)\lor(\neg\neg q\lor r)$，比较两个命题可以发现它们不等价。举个例子，当$p$为真、$q$为假、$r$为假时，原命题为假，而选项$(B)$为真。

对于选项$(C)$，可以将其转化为$q\Rightarrow(\neg p\lor r)$，即$\neg q\lor(\neg p\lor r)$，比较两个命题可以发现它们不等价。举个例子，当$p$为真、$q$为假、$r$为假时，原命题为真，而选项$(C)$为假。

对于选项$(D)$，可以将其转化为$\neg(\neg p\lor(q\land\neg r))$，即$p\land\neg(q\land\neg r)$，比较两个命题可以发现它们等价。

因此，选项$(D)$是正确的。

答案：$\boxed{\textbf{(D)}}$

参考链接

• GATE CS 2020 Question 18 (Discrete Maths)