Van Emde Boas树 | 基础与建设

Van Emde Boas树（VEB树）是一种非常高效的数据结构，主要用于支持动态集合最小值、最大值、后继和前驱等操作，其时间复杂度为$O(\log\log U)$，其中$U$是能表示的整数的范围。在本文中，我们将介绍VEB树的基础概念和建设方法，并提供相应的Python实现。

基础概念

先简单介绍一下VEB树的基础概念。

定义

Van Emde Boas树是一种数据结构，可以处理$w$位二进制整数的集合，其中$w$是一个正整数。VEB树支持下列操作：

• $empty(v)$：如果集合$v$为空，则返回True，否则返回False。
• $insert(v,x)$：将$x$插入集合$v$。
• $delete(v,x)$：将$x$从集合$v$中删除。
• $member(v,x)$：如果$x$在集合$v$中，则返回True，否则返回False。
• $min(v)$：返回集合$v$中最小的元素。
• $max(v)$：返回集合$v$中最大的元素。
• $successor(v,x)$：返回集合$v$中比$x$大的最小元素。
• $predecessor(v,x)$：返回集合$v$中比$x$小的最大元素。

属性

VEB树有以下属性：

• $w$表示二进制位数，即$w=2^k$，其中$k$是正整数，且$k=\lceil\frac{\log U}{\log 2}\rceil$。
• $u$表示能够表示的$w$位二进制整数的范围，即$u=2^w$。
• $summary$是一个VEB树，用于维护VEB树中每个包含$2^{\lfloor w/2\rfloor}$个元素的子树的最小元素。
• $cluster$是一个长度为$2^{\lfloor w/2\rfloor}$的数组，用于维护VEB树中每个包含$2^{\lfloor w/2\rfloor}$个元素的子树。

建设VEB树

接下来，我们将介绍如何建设VEB树。

建设细节

VEB树的建设是递归进行的。

对于VEB树中的最小元素和最大元素，我们可以直接利用数组实现。

对于VEB树中的summary和cluster，我们需要递归建设。

总体思路如下：

1. 根据上述定义和属性，我们可以不难得到VEB树的代码骨架。

2. 在递归建设VEB树的过程中，我们首先需要确定当前VEB树的二进制位数$w$，以及维护VEB树的两个属性$summary$和$cluster$。

3. 如果当前$w=1$，说明VEB树只包含一个元素，我们可以直接初始化一个$[False, False]$的数组表示该元素是否存在。

4. 如果当前$w>1$，说明VEB树包含多个元素，我们需要递归建设$2^{\lfloor w/2\rfloor}$个包含$2^{\lfloor w/2\rfloor}$个元素的子树，并将它们作为cluster维护。

5. 我们需要建立一个summary，用于维护每个$2^{\lfloor w/2\rfloor}$个元素的子树的最小元素。由于summary也是VEB树，我们可以递归调用build函数来建设。

6. 最后，我们将当前VEB树的最大和最小元素，以及summary和cluster，存储在当前VEB树实例的成员变量中。

Python实现

下面是Python实现，返回的代码片段按markdown标明：

import math

class VEBTree:
    def __init__(self, w):
        """
        Initialize your data structure here.
        :type w: int
        """
        self.w = w
        self.min_value = None
        self.max_value = None
        self.summary = None
        self.cluster = None

        if self.w > 1:
            upper_sqrt_w = int(math.ceil(math.sqrt(self.w)))
            lower_sqrt_w = int(math.floor(math.sqrt(self.w)))

            self.summary = VEBTree(lower_sqrt_w)
            self.cluster = []
            for i in range(upper_sqrt_w):
                self.cluster.append(VEBTree(lower_sqrt_w))

        elif self.w == 1:
            self.min_value = None
            self.max_value = None

    def high(self, x):
        """
        Get the high-order bits of x.
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        return x // int(math.sqrt(self.w))

    def low(self, x):
        """
        Get the low-order bits of x.
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        return x % int(math.sqrt(self.w))

    def index(self, i, j):
        """
        Get the index of (i, j).
        :type i: int
        :type j: int
        :rtype: int
        """
        return i * int(math.sqrt(self.w)) + j

    def veb_insert(self, x):
        """
        Insert x into the VEB tree.
        :type x: int
        :rtype: None
        """
        if self.min_value is None:
            self.min_value = x
            self.max_value = x
        else:
            if x < self.min_value:
                tmp_min_value = self.min_value
                self.min_value = x
                x = tmp_min_value

            if self.w > 1:
                if self.cluster[self.high(x)].min_value is None:
                    self.summary.veb_insert(self.high(x))
                    self.cluster[self.high(x)].min_value = self.low(x)
                    self.cluster[self.high(x)].max_value = self.low(x)
                else:
                    self.cluster[self.high(x)].veb_insert(self.low(x))

            if x > self.max_value:
                self.max_value = x

    def veb_delete(self, x):
        """
        Remove x from the VEB tree.
        :type x: int
        :rtype: None
        """
        if self.min_value == self.max_value:
            self.min_value = None
            self.max_value = None
        elif self.w == 1:
            if x == 0:
                self.min_value = 1
            else:
                self.min_value = 0
            self.max_value = self.min_value
        else:
            if x == self.min_value:
                tmp_min_value = self.cluster[self.summary.min_value()].min_value
                x = self.index(self.summary.min_value(), tmp_min_value)
                self.min_value = x

            self.cluster[self.high(x)].veb_delete(self.low(x))

            if self.cluster[self.high(x)].min_value is None:
                self.summary.veb_delete(self.high(x))

                if x == self.max_value:
                    summary_max = self.summary.max_value
                    if summary_max is None:
                        self.max_value = self.min_value
                    else:
                        self.max_value = self.index(summary_max, self.cluster[summary_max].max_value)
            elif x == self.max_value:
                self.max_value = self.index(self.high(x), self.cluster[self.high(x)].max_value)

    def veb_member(self, x):
        """
        Check if x is in the VEB tree.
        :type x: int
        :rtype: bool
        """
        if x == self.min_value or x == self.max_value:
            return True
        elif self.w == 1:
            return False
        else:
            return self.cluster[self.high(x)].veb_member(self.low(x))

    def veb_minimum(self):
        """
        Get the minimum value in the VEB tree.
        :rtype: int
        """
        return self.min_value

    def veb_maximum(self):
        """
        Get the maximum value in the VEB tree.
        :rtype: int
        """
        return self.max_value

    def veb_successor(self, x):
        """
        Get the smallest value in the VEB tree which is greater than x.
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        if self.w == 1:
            if x == 0 and self.max_value == 1:
                return 1
            else:
                return None
        elif self.min_value is not None and x < self.min_value:
            return self.min_value
        else:
            max_low = self.cluster[self.high(x)].max_value
            if max_low is not None and self.low(x) < max_low:
                offset = self.cluster[self.high(x)].veb_successor(self.low(x))
                return self.index(self.high(x), offset)
            else:
                succ_cluster = self.summary.veb_successor(self.high(x))
                if succ_cluster is None:
                    return None
                else:
                    offset = self.cluster[succ_cluster].min_value
                    return self.index(succ_cluster, offset)

    def veb_predecessor(self, x):
        """
        Get the largest value in the VEB tree which is less than x.
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        if self.w == 1:
            if x == 1 and self.min_value == 0:
                return 0
            else:
                return None
        elif self.max_value is not None and x > self.max_value:
            return self.max_value
        else:
            min_low = self.cluster[self.high(x)].min_value
            if min_low is not None and self.low(x) > min_low:
                offset = self.cluster[self.high(x)].veb_predecessor(self.low(x))
                return self.index(self.high(x), offset)
            else:
                pred_cluster = self.summary.veb_predecessor(self.high(x))
                if pred_cluster is None:
                    if self.min_value is not None and x > self.min_value:
                        return self.min_value
                    else:
                        return None
                else:
                    offset = self.cluster[pred_cluster].max_value
                    return self.index(pred_cluster, offset)

总结

Van Emde Boas树是一种非常高效的数据结构，可用于实现集合最小值、最大值、后继和前驱等操作。本文介绍了VEB树的基础概念和建设方法，并提供了Python实现。显而易见，该数据结构的时间复杂度为$O(\log\log U)$，其中$U$是能够表示的整数的范围。