根据给定的不规则区域求解数独

本程序通过输入数独的已知数字以及不规则区域，输出数独的解。

输入格式

数独的初始状态为一个 $9 \times 9$ 的矩阵，其中已知数字为非零整数，未知数字用 $0$ 表示。程序还需要输入不规则区域，即数独中不同于 $3 \times 3$ 小方块的区域，这些区域用一些数字和字母进行表示。如下图所示：

输出格式

程序将输出数独的解，即一个 $9 \times 9$ 的矩阵，其中所有未知数字被填充。

如果数独无解，程序将输出 "No solution"。

代码示例

def solve_sudoku_with_irregular_regions(sudoku: List[List[int]], irregular_regions: Dict[str, List[Tuple[int, int]]]]) -> List[List[int]]:
    """
    根据给定的不规则区域求解数独。

    :param sudoku: 数独的初始状态，一个 9x9 的矩阵，已知数字为非零整数，未知数字用 0 表示。
    :param irregular_regions: 数独中不同于 3x3 小方块的区域（如图），这些区域用一些数字和字母进行表示。
    :return: 数独的解，一个 9x9 的矩阵，其中所有未知数字被填充。如果无解，返回"No solution"。
    """
    ...

算法思路

数独可以简单地用回溯算法求解，我们只需对数独中出现的每个空格进行尝试就能得到答案。但是如果加上不规则区域，就需要对回溯算法进行一些修改。

具体来说，我们需要对每个空格进行尝试时，仅在该空格所在的行、列、区域以及不规则区域中未出现过的数字进行尝试。这样就可以保证得到的数字符合数独的要求。由于不规则区域的存在，我们需要将数独中的每个数字都与其所在的不规则区域进行关联，并将每个不规则区域中出现的数字加入到该区域所在的行、列、区域中。这样做能够保证在进行回溯时，我们只需在与当前空格相关的行、列、区域以及不规则区域中寻找未出现过的数字即可。

时间复杂度分析

回溯算法的时间复杂度为 $O(9^n)$，其中 $n$ 为数独中空格的数量，因为对于每个空格，我们需要进行 $9$ 次尝试。但由于加入了不规则区域的限制，我们进行的尝试次数将会减少，因此实际的运行时间会小于 $O(9^n)$。

空间复杂度分析

由于我们需要保存每个空格的状态，空间复杂度为 $O(n)$。由于数独中空格的数量最多为 $81$（即 $9 \times 9$ 的矩阵），因此空间复杂度为 $O(1)$。