有向图的 Hierholzer 算法

介绍

在有向图中，欧拉路径（Euler path）是指恰好遍历一次每条边的路径。如果有向图存在欧拉路径，则称它是欧拉图。 Hierholzer 算法是用于寻找欧拉路径的一种算法。

Hierholzer 算法是由欧拉大师在 1735 年首次提出，后由 Hierholzer 在 1873 年完善，因此得名 Hierholzer 算法。

在图论中，由于欧拉路径的特殊性质，寻找欧拉路径的算法既有特殊的算法，也有通用的算法。 Hierholzer 算法是针对有向图的通用算法。

算法步骤

Hierholzer 算法需要先判断给定的有向图是否存在欧拉路径。如果存在，则可以执行以下步骤：

1. 从任意一个点出发，按照深度优先搜索的顺序遍历所有边，并将遍历过的边逐个删除。
2. 如果当前节点存在未遍历的边，则继续深度优先搜索子节点。
3. 如果当前节点不存在未遍历的边，则将该节点加入欧拉路径中，并回溯到该节点的前一个节点，继续深度优先搜索子节点。
4. 重复步骤 3，直到回溯到起始节点为止。

代码实现

下面是用 Python 语言实现 Hierholzer 算法的代码：

def Hierholzer(start, graph):
    path = []  # 存储欧拉路径
    stack = [start]  # 存储路径上经过的节点
    while stack:
        node = stack[-1]
        if graph[node]:
            # 如果当前节点还有未遍历的出边，则遍历它的子节点
            stack.append(graph[node].pop())
        else:
            # 如果当前节点没有未遍历的出边，则将其加入欧拉路径中
            path.append(stack.pop())
    return path[::-1]

总结

Hierholzer 算法是一种寻找欧拉路径的通用算法。该算法需要先判断有向图是否存在欧拉路径，如果存在则可以使用该算法。 Hierholzer 算法的核心思想是深度优先搜索，并将遍历过的边逐个删除。这种遍历方式可以保证欧拉路径的存在。