有向图中边的最小XOR总和的路径

介绍

在一个给定的有向图中，节点之间存在多条有向边，每条边上都有一个非负整数表示该边的权重。路径的权重表示为路径上所有边权的异或和。现在要求你找出从某个起点到某个终点的路径中，边权的异或和最小。这个问题可以用“最小生成树”（MST）解决，但是，它并不能解决边权异或和的问题。在这篇文章中，我们将介绍如何通过异或前缀和和最短路算法来解决该问题。

解决方案

异或前缀和

异或前缀和是一个非常有用的技巧。我们可以将一个序列中相邻元素之间的异或值记录在一个新的数组中，这就是异或前缀和数组。如果我们想要计算序列中任意两个位置之间的异或和，我们只需计算异或前缀和数组中的两个索引之间的异或值。

最短路径

最短路径算法被用来查找从一个节点到另一个节点最短的路径。这里我们将使用Dijkstra算法求解最短路径，但是需要修改一下，在算法中加入异或的操作。

思路

我们可以用Dijkstra算法找到从起点到终点的最短路径。但是，如果我们通过Dijkstra算法计算邻接节点之间的距离时，应该使用异或前缀和来计算异或和。在这种情况下，我们需要修改Dijkstra算法的优先队列，将它存储为元组（节点，异或前缀和）的形式。如果我们到达一个节点时的异或前缀和比以前到达该节点的异或前缀和小，我们就可以更新该节点的异或前缀和并将其插入到优先队列中。当我们到达终点时，我们便得到了从起点到终点的边的异或和的最小值。

代码实现

以下是Python的实现：

from heapq import heappush, heappop

def shortest_path(graph, start, end):
    dist = {start: [0, start]}
    q = [(0, start)]
    while q:
        (cost, u) = heappop(q)
        if u == end and cost==dist[u][0]:
            return dist[u][0]
        if cost!=dist[u][0]:
            continue
        for (v, w) in graph[u]:
            if v not in dist:
                nxt_dist = dist[u][0] ^ w
                dist[v] = [nxt_dist, u]
                heappush(q, (nxt_dist, v))
            else:
                if nxt_dist < dist[v][0]:
                    dist[v] = [nxt_dist, u]
                    heappush(q, (nxt_dist, v))
    return -1

结论

我们通过上述算法，可以得到一个有向图中边的最小XOR总和的路径。这个算法也可以用于无向图。