翻牌后的最低分数

问题描述

有一堆牌，每张牌上都写着一个整数。现在要求你从其中选择 n 张牌，使得这 n 张牌的点数之和恰好为 sum。如果任意一张牌都不能重复使用，同时任意一张牌都不能无限制地选择，那么这时有多种选择方案。

现在，请你计算有多少种方案，满足选出的牌的点数和恰好为 sum，并且选出的牌的种类数恰好为 n。

解题思路

这是一个典型的组合问题，可以使用动态规划来解决。设 $f(i,j,k)$ 表示考虑前 $i$ 张牌，选了 $j$ 张牌，总点数为 $k$ 时的方案数。

当不选第 $i$ 张牌时，$f(i,j,k)$ 的值即为 $f(i-1,j,k)$；当选第 $i$ 张牌时，$f(i,j,k)$ 的值即为 $f(i-1,j-1,k-a_i)$。

于是，我们可以得到状态转移方程：$$ f(i,j,k) = f(i-1,j,k) + f(i-1,j-1,k-a_i) $$

对于本题而言，我们只需要求出 $f(n,n,sum)$ 即可得到翻牌后的最低分数。

代码实现

以下是使用 Python 实现的代码片段：

def get_minimum_score(cards: List[int], n: int, s: int) -> int:
    m = len(cards)
    f = [[[0] * (s+1) for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)]
    f[0][0][0] = 1
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(n+1):
            for k in range(s+1):
                f[i][j][k] = f[i-1][j][k]
                if j and k >= cards[i-1]:
                    f[i][j][k] += f[i-1][j-1][k-cards[i-1]]
    i = s
    while f[m][n][i] == 0:
        i -= 1
    return i

其中，cards 是一个整数数组，表示每张牌的点数；n 和 s 分别为选出牌的数量和总点数。函数返回翻牌后的最低分数。

性能分析

此算法使用了三重循环，时间复杂度为 $O(mns)$，其中 $m$ 表示牌的数量，$n$ 表示选出牌的数量，$s$ 表示总点数。由于最大值 $m, n, s$ 均为 1000，因此算法复杂度大约为 $O(10^9)$。因此，此算法的性能较为稳定，可以满足本题的要求。