等腰三角形内可容纳的最大2×2正方形数

问题描述

在一个等腰三角形内，能够容纳的最大 $2×2$ 正方形是多少个？

解决方案

假设等腰三角形的高为 $h$，底边长为 $2n-1$。如果我们把三角形从底边中间剖开，它就变成了两个等腰直角三角形，每个三角形的底边和高都是 $n$。

我们可以先考虑在一个等腰直角三角形内最多容纳多少个 $2×2$ 的正方形。在等腰直角三角形内，我们可以得到以下等差数列：

$1^2, 2^2-1^2, 3^2-2^2, ..., n^2-(n-1)^2$

$$ \begin{aligned} &1^2=1,\ &2^2-1^2=3,\ &3^2-2^2=5,\ &\dots\ &n^2-(n-1)^2=2n-1 \end{aligned} $$

这个等差数列的和就是

$$ 1^2+(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+\dots+(n^2-(n-1)^2)=n^2 $$

从而可以在等腰直角三角形内容纳 $n^2$ 个 $2×2$ 正方形。

接下来我们考虑在一个等腰三角形内容纳多少个 $2×2$ 的正方形。可以将其分割成等腰直角三角形的组合。如果将底边的长度拆成若干个 $2$ ，则可以组成 $2,2,...,2,1,2,...,2$，其中 $2$ 的个数为奇数个。

例如，当底边长为 $7$ 时，可以分成 $2,2,1,2$，共有 $2$ 个等腰直角三角形。在每个等腰直角三角形内，可以容纳 $n^2$ 个 $2×2$ 正方形，因此在整个等腰三角形内，可以容纳 $2n^2$ 个 $2×2$ 正方形。

代码实现

def max_square_num(n: int) -> int:
    """
    计算一个底边长为 2n-1 的等腰三角形所能容纳的最大 2x2 正方形的个数

    :param n: 等腰三角形的高
    :return: 最大 2x2 正方形的个数
    """
    return 2 * (n ** 2)

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等腰三角形内可容纳的最大2×2正方形数

问题描述

在一个等腰三角形内，能够容纳的最大 $2×2$ 正方形是多少个？

解决方案

假设等腰三角形的高为 $h$，底边长为 $2n-1$。如果我们把三角形从底边中间剖开，它就变成了两个等腰直角三角形，每个三角形的底边和高都是 $n$。

我们可以先考虑在一个等腰直角三角形内最多容纳多少个 $2×2$ 的正方形。在等腰直角三角形内，我们可以得到以下等差数列：

$1^2, 2^2-1^2, 3^2-2^2, ..., n^2-(n-1)^2$

$$ \begin{aligned} &1^2=1,\ &2^2-1^2=3,\ &3^2-2^2=5,\ &\dots\ &n^2-(n-1)^2=2n-1 \end{aligned} $$

这个等差数列的和就是

$$ 1^2+(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+\dots+(n^2-(n-1)^2)=n^2 $$

从而可以在等腰直角三角形内容纳 $n^2$ 个 $2×2$ 正方形。

接下来我们考虑在一个等腰三角形内容纳多少个 $2×2$ 的正方形。可以将其分割成等腰直角三角形的组合。如果将底边的长度拆成若干个 $2$ ，则可以组成 $2,2,...,2,1,2,...,2$，其中 $2$ 的个数为奇数个。

例如，当底边长为 $7$ 时，可以分成 $2,2,1,2$，共有 $2$ 个等腰直角三角形。在每个等腰直角三角形内，可以容纳 $n^2$ 个 $2×2$ 正方形，因此在整个等腰三角形内，可以容纳 $2n^2$ 个 $2×2$ 正方形。

代码实现

def max_square_num(n: int) -> int:
    """
    计算一个底边长为 2n-1 的等腰三角形所能容纳的最大 2x2 正方形的个数

    :param n: 等腰三角形的高
    :return: 最大 2x2 正方形的个数
    """
    return 2 * (n ** 2)