门 | Sudo GATE 2020 Mock III(2019年1月24日)|问题7

本题主要涉及计算机科学中的图论问题，需要对图论中的某些基本概念和算法有一定的了解。本题的主要任务是实现一个方法，该方法可以找到给定有向图中的最小顶点覆盖，即最小的顶点集合，使得每条边至少与其中一个顶点相邻。

概述

一个有向图的最小顶点覆盖是指一个包含最小数量的顶点子集，使得每个有向边至少有一个端点在此子集中。 换句话说，每个未覆盖的边都必须至少与该子集中的一个点相邻。 最小顶点覆盖问题是最小割问题的对偶问题。

输入

输入格式为一个有向图的邻接矩阵，如下所示：

graph = [
    [0, 1, 1, 0],
    [1, 0, 0, 1],
    [1, 0, 0, 1],
    [0, 1, 1, 0]
]

其中每一行表示一个顶点所能到达的顶点，顶点编号从0开始。

输出

输出格式是一个包含最小顶点覆盖顶点集合的列表，如下所示：

[1, 3]

算法思路

最小顶点覆盖问题通常使用最大匹配来求解。 首先将该有向图的转化为一个无向图，这可以通过将每条有向边变成一条无向边来实现。然后，最小顶点覆盖问题等价于无向图中的最大匹配问题。这种方法可以使用Hopcroft-Karp算法来找到最大匹配。

实现

对于本题而言，解决最小顶点覆盖问题，主要考察的是对图论基础知识和算法的理解，所以我们不必去实现Hopcroft-Karp算法，可以利用networkx库中的方法实现。使用networkx库中函数nx.maximal_matching，求得最大匹配，并找到最小点覆盖。代码实现如下：

import networkx as nx

def min_vertex_cover(graph):
    """
    :param graph: 有向图，邻接矩阵表示
    :return: 包含最小顶点覆盖顶点集合的列表
    """
    G = nx.Graph()
    n = len(graph)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if graph[i][j]==1:
                G.add_edge(i,j)
    matching = nx.maximal_matching(G)
    vertex_cover = set(matching.keys()).union(set(matching.values()))
    return list(vertex_cover)

函数简单明了，首先将输入的邻接矩阵表示的有向图转化为一个无向图，然后利用networkx库中的maximal_matching函数求出最大匹配。最后使用结果中的匹配边的两端点集合构成的点集即为最小顶点覆盖的集合。