给定欧几里得平面中的一组线可以形成的三角形数

在欧几里得平面中，给定一组线段，我们可以通过连接其中三条线段构成三角形。这样，在一组线段中，我们可以形成很多不同的三角形。那么问题来了，如果给定一组线段，如何统计出这组线段可以形成的三角形数呢？本文将介绍如何解决这个问题。

算法

假设我们有 $n$ 条线段，我们可以使用一个三层的循环结构来枚举所有可能的三角形。具体来说，我们可以让第一层循环枚举第一条线段，第二层循环枚举第二条线段，第三层循环枚举第三条线段，并在这三条线段连接起来构成的三角形合法时，将三角形的数量加 $1$。这个算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，需要枚举 $\binom{n}{3} = n(n-1)(n-2)/6$ 种不同的三元组。然而，我们可以通过一些优化来降低时间复杂度。

首先，我们可以对线段按照长度从小到大排序，这样，在枚举第一条线段时，我们可以遍历排在它之后的所有线段而不用担心重复计算。这个优化的时间复杂度可以降低到 $O(n^2)$。

其次，我们可以使用二分查找来在线段数组中查找第三条边需要的线段。这个优化的时间复杂度可以降低到 $O(n^2 \log n)$。具体来说，对于每个第一条线段和第二条线段构成的线段对，我们可以计算出可能的第三条边的长度范围，然后在线段数组中使用二分查找来找到首个满足要求的线段，再统计该线段之后的线段个数即可（因为已经对线段按照长度排序）。

最后，我们可以使用一个前缀和数组来维护线段数组中后缀线段数量的和。这个优化的时间复杂度可以降低到 $O(n \log n)$。具体来说，我们可以先将线段数组按照长度从小到大排序，然后使用前缀和数组记录每个位置之后的线段数量，这样，在使用二分查找时，我们可以通过查询前缀和数组来统计第三条边所在位置之后的线段数量。

代码的具体实现如下：

def count_triangles(n: int, lines: List[int]) -> int:
    lines.sort()  # 按照长度从小到大排序
    suffix_counts = [0] * (n + 1)  # 记录每个位置之后的线段数量
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        suffix_counts[i] = suffix_counts[i + 1] + 1
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            min_len = abs(lines[i] - lines[j]) + 1
            max_len = lines[i] + lines[j] - 1
            k = bisect.bisect_left(lines, max_len, j + 1)
            ans += k - j - 1 + suffix_counts[k]
    return ans

总结

本文介绍了如何统计给定欧几里得平面中的一组线段可以形成的三角形数。我们首先给出了一个朴素的 $O(n^3)$ 算法，然后介绍了三个优化，可以将算法时间复杂度降低到 $O(n \log n)$。这个问题有着重要的应用，比如在计算凸包时，我们需要统计凸包中的三角形个数，而这个问题可以转化为统计给定欧几里得平面中的一组线段可以形成的三角形数。