C矩阵链乘法程序

本程序实现了矩阵链乘法的算法，通过动态规划的方式计算矩阵的最小乘法次数。该算法可以用于优化矩阵运算的性能。

使用方法

1. 使用C语言编译器编译程序
2. 运行可执行文件
3. 按照屏幕提示输入矩阵的维度和元素

程序结构

输入部分

程序首先通过标准输入（stdin）获取矩阵链的维度信息，依次输入矩阵的行和列（假设矩阵的维度为n，那么输入的行和列分别为n-1个和n个）。

scanf("%d", &n);  // 输入矩阵链中矩阵的个数

for (i = 0; i <= n; i++)
{
    scanf("%d", &p[i]);  // 输入每个矩阵的行和列
}

接下来，程序通过循环获取每个矩阵的元素，按照行优先顺序存储在一个一维数组中。

算法部分

该算法核心是动态规划，采用了自底而上的方式，依次计算每组矩阵的最小乘法次数。

for (len = 2; len <= n; len++)  // 枚举矩阵链的长度
{
    for (i = 1; i <= n - len + 1; i++)  // 枚举矩阵链的起点
    {
        j = i + len - 1;  // 计算矩阵链的终点
        m[i][j] = INF;  // 初始化为极大值

        for (k = i; k < j; k++)  // 枚举分割点
        {
            int q = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];  // 计算乘法次数
            if (q < m[i][j])
            {
                m[i][j] = q;  // 更新最小值
            }
        }
    }
}

对于每个长度为len的矩阵链，有多种划分方式，需要枚举分割点k，对于每个分割点k，计算左侧矩阵链和右侧矩阵链的乘法次数和，加上当前矩阵链的乘法次数，即可得到当前划分方式下的乘法次数。

输出部分

程序输出最小乘法次数，以及对应的乘法顺序。由于矩阵链最小乘法次数是动态规划得到的，乘法顺序则可以通过递归实现。

printf("Minimum number of multiplications: %d\n", m[1][n]);
printf("Optimal parenthesization: ");
print_optimal_parenthesization(1, n);
printf("\n");

结论

本程序实现了矩阵链乘法的算法，并通过动态规划的方式求解最小乘法次数。该算法的时间复杂度为O(n3)，可用于优化矩阵运算的性能。

代码片段

#include <stdio.h>

#define MAX_N 100
#define INF 0x7fffffff

int p[MAX_N + 1];  // 存储矩阵的行和列
int m[MAX_N + 1][MAX_N + 1];  // 存储矩阵链的最小乘法次数

void print_optimal_parenthesization(int i, int j)
{
    if (i == j)
    {
        printf("M%d", i);
    }
    else
    {
        int k = m[i][j];
        printf("(");
        print_optimal_parenthesization(i, k);
        printf(" x ");
        print_optimal_parenthesization(k + 1, j);
        printf(")");
    }
}

int main()
{
    int i, j, k, len, n;

    scanf("%d", &n);
    for (i = 0; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &p[i]);
    }

    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        m[i][i] = 0;
    }

    for (len = 2; len <= n; len++)
    {
        for (i = 1; i <= n - len + 1; i++)
        {
            j = i + len - 1;
            m[i][j] = INF;

            for (k = i; k < j; k++)
            {
                int q = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
                if (q < m[i][j])
                {
                    m[i][j] = q;
                }
            }
        }
    }

    printf("Minimum number of multiplications: %d\n", m[1][n]);
    printf("Optimal parenthesization: ");
    print_optimal_parenthesization(1, n);
    printf("\n");

    return 0;
}