门| GATE CS Mock 2018 |设置 2 |第 36 题

本题是针对计算机科学门学科的模拟考试题，旨在考察程序员在数据结构和算法方面的知识。以下是该题的详细介绍和解答。

题目描述

给定一个包含 n 个节点的有向图，你需要找到从节点 1 到节点 n 的最短路径。每个节点上都有一个非负整数，表示从一个节点到另一个节点的距离。请编写一个函数来计算最短路径的总和。

输入

函数的输入参数包含两个：

• n：有向图的节点数量（范围为1 <= n <= 1000）
• g：一个大小为 n*n 的二维数组，表示有向图的邻接矩阵。g[i][j] 表示从节点 i 到节点 j 的距离，如果不存在这样的路径，则距离为 -1。距离值范围为非负整数。

输出

函数应该返回一个整数，表示从节点 1 到节点 n 的最短路径的总和。如果没有从节点 1 到节点 n 的路径，则返回 -1。

解题思路

这是一个典型的最短路径问题，可以用 Dijkstra 算法来解决。Dijkstra 算法是一种用于找到图中单源最短路径的贪心算法。

1. 初始化距离数组 dist[]，将所有节点的距离初始化为无穷大（表示不可到达）。
2. 将节点 1 的距离 dist[1] 初始化为 0（表示起点到自身的距离为 0）。
3. 创建一个空的优先队列（或最小堆），用来保存待处理的节点。
4. 将节点 1 加入优先队列。
5. 当优先队列不为空时，执行以下步骤：
   • 弹出队列中距离最小的节点 v。
   • 对于节点 v 所有相邻的节点 u：
     • 如果 dist[u] > dist[v] + g[v][u]，更新 dist[u] 的值为 dist[v] + g[v][u]。
     • 如果节点 u 尚未被加入队列，则将节点 u 加入队列中。
6. 返回 dist[n]，即从节点 1 到节点 n 的最短路径的总和。

算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是节点的数量。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现以上算法的代码片段：

import heapq

def shortest_path(n, g):
    dist = [float('inf')] * (n + 1)
    dist[1] = 0
    
    pq = []
    heapq.heappush(pq, (0, 1))
    
    while pq:
        d, v = heapq.heappop(pq)
        
        for u in range(1, n + 1):
            if g[v][u] != -1:
                if dist[u] > dist[v] + g[v][u]:
                    dist[u] = dist[v] + g[v][u]
                    heapq.heappush(pq, (dist[u], u))
    
    return dist[n] if dist[n] != float('inf') else -1

请注意，此处只提供了算法的伪代码实现，你需要在上述代码的基础上完成函数的参数解析和结果返回。

示例

输入:

n = 4
g = [[-1, 1, 3, -1],
     [-1, -1, -1, 2],
     [-1, -1, -1, 3],
     [-1, -1, -1, -1]]

输出:

6

解释:

从节点 1 到节点 4 的最短路径为 1 -> 2 -> 4，总和为 6。

总结

本题是一个典型的最短路径问题，通过使用 Dijkstra 算法可以快速找到从起点到终点的最短路径。算法的关键在于设置合适的距离数组和优先队列，在每次迭代中更新节点的距离值，并选择距离最小的节点进行处理。