以下哪个(些)陈述是正确的?
- 1 是 7^700 除以 100 的余数。
- 1 是 7^26 除以 100 的余数。
- 2 是 7^35 除以 13 的余数。
(A)仅 (1)
(B)只有 (2)
(C)只有 (1) 和 (3)
(D)所有 (1)、(2) 和 (3)答案： (C)
解释：
- (7^700) mod 100 = 7^(700 mod 100) = 7^0 = 1。
- 7^1的后两位是07
7^2的后两位是49
7^3的后两位是43
7^4 的最后两位是 01。
这个循环是 7, 9, 3, 1, 7, 9, …并且，26 mod 4 = 2。
因此，7^26 = 7^(4n+2) 将以 49 结束。
→ 7^26 mod 100 = 7^2 mod 100 = 49。 - (7^35) mod 13 = ((7^12)*(7^12)*(7^11)) mod 13
A^(P-1)/P(其中 A 是任何自然数，P 是任何不是 A 因数的素数)将给出余数 1。
所以，
(7^12) 模 13 = 1
所以，
→ (1*1*(7^11)) mod 13
→ (7^11) mod 13
→ ((7)*(7^10)) mod 13
→ ((7)*((7^2)^5)) mod 13
→ ((7)*(49^5)) mod 13
→ ((7)*((39+10)^5)) mod 13
→ ((7)*(10^5)) mod 13
→ ((7)*(100*100*10)) mod 13
→ ((7)*(9*9*10)) mod 13
→ 2
因此，只有陈述(1)和(3)是正确的。
选项(C)是正确的。
这个问题的测验