GATE-CS-2016(Set 2) - 问题13

本文将对 GATE-CS-2016(Set 2) - 问题13 进行介绍。

题目描述

在一个长度为 n 的数组 a[] 中，找出一个局部最小值满足：

1. a[i] < a[i - 1] 且 a[i] < a[i + 1]
2. a[0] > a[1]
3. a[n - 2] < a[n - 1]

请使用分治算法在 O(log n) 时间内找出该局部最小值。

解题思路

题目要求使用分治算法在 O(log n) 时间内找出该局部最小值。根据分治算法的思想，我们可以将数组分为左右两部分，然后递归地查找左半部分和右半部分中的局部最小值，最终找出整个数组中的局部最小值。

假设当前数组的左右索引为 lo 和 hi，中间索引为 mid，初始时 lo=0，hi=n-1。我们将 mid 指向数组中间元素，如果 a[mid] 小于 a[mid - 1] 和 a[mid + 1]，那么 a[mid] 就是该数组的一个局部最小值。否则，如果 a[mid - 1] 小于 a[mid]，那么该数组的一个局部最小值肯定在左半部分，我们就递归地在左半部分中查找；如果 a[mid + 1] 小于 a[mid]，那么该数组的一个局部最小值肯定在右半部分，我们就递归地在右半部分中查找。

代码如下：

def local_minimum(a, lo, hi):
    mid = (lo + hi) // 2
    if (mid == 0 or a[mid] < a[mid - 1]) and (mid == hi or a[mid] < a[mid + 1]):
        return a[mid]
    elif mid > 0 and a[mid - 1] < a[mid]:
        return local_minimum(a, lo, mid - 1)
    else:
        return local_minimum(a, mid + 1, hi)

时间复杂度

分治算法的时间复杂度为 O(log n)。

总结

该题目使用了分治算法在 O(log n) 时间内找出了一个数组的局部最小值。因此，分治算法是一种非常高效的算法，特别适用于处理大规模数据。