GATE-CS-2006 Question 78

本题涉及数据结构和算法。

题目

实现一个高效的堆数据结构，并解释其主要操作的时间复杂度和空间复杂度。请注意，堆应该可以在常量时间内查找最大值。

解答

堆是一个完全二叉树，具有以下两个性质：

1. 任意节点的值都不大于（或不小于）它的子节点的值。
2. 堆总是一个完美的二叉树，其中所有叶节点都位于最下面的一行或倒数第二行上。

将堆实现为一个数组，可以使用以下算法来维护堆的性质。

1. insert(item)： 在堆的末尾插入一个元素，然后将其与它的父节点交换，直到堆的性质得到满足。

   • 时间复杂度：O(logn)
   • 空间复杂度：O(1)

2. delete_max()： 从堆的根节点中删除最大值，然后将末尾元素移到根节点处，并将其和它的左右子节点中的最大值交换，直到堆的性质得到满足。

   • 时间复杂度：O(logn)
   • 空间复杂度：O(1)

3. get_max()： 返回堆的根节点的值，即最大值。

   • 时间复杂度：O(1)
   • 空间复杂度：O(1)

代码片段

以下是堆的实现代码片段，使用 Python 语言实现：

class Heap:
    def __init__(self):
        self.data = []

    def _sift_up(self, idx):
        while idx > 0:
            parent_idx = (idx - 1) // 2
            if self.data[parent_idx] >= self.data[idx]:
                break
            self.data[parent_idx], self.data[idx] = self.data[idx], self.data[parent_idx]
            idx = parent_idx

    def _sift_down(self, idx):
        while idx * 2 + 1 < len(self.data):
            left_idx = idx * 2 + 1
            right_idx = idx * 2 + 2 if idx * 2 + 2 < len(self.data) else left_idx
            max_child_idx = left_idx if self.data[left_idx] > self.data[right_idx] else right_idx
            if self.data[idx] >= self.data[max_child_idx]:
                break
            self.data[idx], self.data[max_child_idx] = self.data[max_child_idx], self.data[idx]
            idx = max_child_idx

    def insert(self, item):
        self.data.append(item)
        self._sift_up(len(self.data) - 1)

    def delete_max(self):
        if not self.data:
            return None
        self.data[0], self.data[-1] = self.data[-1], self.data[0]
        max_value = self.data.pop()
        self._sift_down(0)
        return max_value

    def get_max(self):
        return self.data[0] if self.data else None

其中 _sift_up() 和 _sift_down() 方法分别用于插入和删除最大值时维护堆的性质。insert()、delete_max() 和 get_max() 方法分别实现了堆的插入、删除和获取最大值的操作。