题目介绍

本题为门(GATE)计算机科学、2003年的第78题。题目要求设计一个算法，找到一个长度为n的整数数组中的一个最长的单调递增子序列（LIS），并且确定其长度k。同时，要求给出一个时间复杂度为O(nlogn)的算法实现。

解题思路

该问题可以使用动态规划或贪心算法进行解决，但是时间复杂度会达到O(n^2)。为了满足题目的要求，我们需要使用一个更高效的算法。

我们可以使用一个数组dp来进行状态转移，其中dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度。则状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中0 <= j < i，且nums[j] < nums[i]

这个状态转移方程的意思是，寻找当前位置i对应的最长递增子序列，那么要将位置i加入到前一个数中最长的递增子序列中。

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，因为需要遍历前面的位置来找到每个位置对应的dp值。但是，我们可以使用二分查找的方式将其优化为O(nlogn)的时间复杂度。具体思路如下：

1. 定义一个数组d，用来存储递增的子序列。
2. 遍历整个数组nums，在每个位置i进行如下操作：
   1. 如果d数组为空，或当前位置nums[i]比d数组中的最后一个数还要大，则将其加入到d数组的末尾。
   2. 否则，在d数组中二分查找第一个比nums[i]大的数，并用nums[i]更新它。
3. 最终d数组中的长度即为最长递增子序列的长度。

代码实现

下面是Python的代码实现，其中二分查找使用标准库中的bisect_left函数。注意，这个函数返回的是插入位置，因此需要将其反转一下才能得到第一个大于nums[i]的位置。

from bisect import bisect_left

def length_of_lis(nums):
    d = []
    for num in nums:
        i = bisect_left(d, num)
        if i == len(d):
            d.append(num)
        else:
            d[i] = num
    return len(d)

总结

本题给出了一个寻找最长递增子序列的问题，并要求给出一个时间复杂度为O(nlogn)的解法。使用动态规划或贪心算法可以得到O(n^2)的时间复杂度，但采用标准库中的二分查找可以将时间复杂度优化为O(nlogn)。此外，这个问题对于算法设计和优化有一定的考察意义。