一棵树的所有对之间的最小边缘权重的乘积

在一棵树中，每个节点都有一个与其相连的父节点，除了根节点没有父节点。每个节点可以和相连的父节点构成一条边。

在这个主题中，我们要求出这棵树中任意两个节点之间的最小边缘权重的乘积。这个问题可以用动态规划来解决。

动态规划

在解决这个问题之前，我们需要知道什么是边缘权重。在一棵树中，每条边都有一个权重，我们用边缘权重表示从根节点到某个节点的路径上所有边的权重的乘积。例如，在下图中，从根节点到节点4的路径上，边缘权重为21=2，从根节点到节点5的路径上，边缘权重为32=6。

    1
   / \
  2   3
 /   / \
4   5   6

为了求解任意两个节点之间的最小边缘权重乘积，我们可以考虑用动态规划的思想。我们定义一个二维数组dp[i][j]表示从节点i到节点j的最小边缘权重乘积。显然，当i=j时，dp[i][j]=1。

我们考虑如何计算dp[i][j]。首先，我们需要知道从节点i到节点j的路径上所有的边，设这些边依次为(i, k1), (k1, k2), ..., (km, j)。那么我们可以得到如下的状态转移方程：

dp[i][j] = min(dp[i][k1]*...*dp[km][j]), k1<=k2<=...<=km

其中，min表示取最小值的操作。

解释一下这个状态转移方程。从节点i到节点j的路径上的边缘权重乘积可以分解成从节点i到节点k1的边缘权重乘积、从节点k1到节点k2的边缘权重乘积、...、从节点km到节点j的边缘权重乘积。而从节点i到节点k1、从节点k1到节点k2、...、从节点km到节点j这些子路径的边缘权重乘积都可以通过之前求解过的dp数组来计算得到。因此，我们可以得到上述的状态转移方程。

最终，我们需要求的就是根据上述状态转移方程计算得到的所有dp[i][j]中的最小值。即，从任意一个节点到任意另一个节点的最小边缘权重乘积。

代码

下面是用Python实现这个动态规划算法的代码：

def minProduct(n, edges):
    MAX = float('inf')
    dp = [[MAX] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][i] = 1
    for i, j, w in edges:
        if i > j:
            i, j = j, i
        dp[i][j] = w
    for k in range(1, n+1):
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(i+1, n+1):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] * dp[k][j])
    ans = MAX
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i+1, n+1):
            ans = min(ans, dp[i][j])
    return ans

其中，参数n表示树的节点数，edges是一个二元组列表，每个二元组(i, j, w)表示从节点i到节点j有一条权重为w的边。函数返回树中所有节点之间的最小边缘权重乘积。

使用示例

下面是一个使用例子：

n = 6
edges = [(1,2,2),(1,3,3),(2,4,1),(3,5,2),(3,6,3)]
print(minProduct(n, edges))

stdout:

2

这里的树是上面提到的例子，求解得到的结果是2，符合预期。